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Aunque a mí me inspiran más ciertas señoritas que conozco, por lo visto el sex-appeal de los números primos ha sido algo irresistible para multitud de matemáticos. De Euclides a esta parte, en efecto, durante siglos, tales entes numéricos han excitado mucho los bajos instintos de infinidad de sesudos especialistas de los más diversos países (excepto, por supuesto, de la España esencial, cuyos escasos matemáticos de relieve siempre han preferido dedicarse a calcular sobre todo el número primo o no primo de ángeles que cabían en una cabecita de alfiler). Uno de los problemas que se han planteado una y otra vez esos estudiosos extranjeros ha sido el de descubrir alguna fórmula capaz de proporcionar, si no todos los infinitos primos, al menos un conjunto infinito de primos.
El pluscuamperfectamente dotado don Pierre Fermat halló en el siglo XVII una sencilla expresión que por lo visto producía siempre números primos, aunque, desde luego, no los producía todos. Era esta: 2^2^n - 1, con n número natural. [Expresión, por cierto, un tanto ambivalente, que hay que leer como: 2 elevado a (2 elevado a n) – 1, y no como: (2 elevado a 2) elevado a n – 1.] El formidable matemático francés, quizá el mayor exponente de la teoría de números que ha producido hasta hoy el género humano, comprobó que, dando valores a n en esa sencilla fórmula (que crece a velocidades enormes), para 1, 2, 3, 4 y 5 resultaban los números siguientes: 3, 5, 17, 257, 65537 y 4294967297. Así que, sin más averiguaciones, y al igual que hizo en la más remota Antigüedad el mismísimo Yahvé, “vio” don Pierre que la cosa aquella era “buena”, y se dedicó a holgazanear en su Séptimo Día. Pero, ¡ay!, unos cien años después, vino el tío Euler con la rebaja, y descubrió que, pese a su inocente y prometedora apariencia, el último de los números antes citados no era en realidad primo, sino producto de 641 por 6700417. Y lo peor no fue eso, sino que luego se comprobó que los números que se obtenían a partir de ahí, para valores de n mayores que 5, ¡eran todos también compuestos! Resultó, así pues, que, de modo semejante a lo que le había ocurrido al omnisciente Yahvé al crear este lamentable mundo, ¡el gran Fermat había metido también aparatosamente la pezuña! ¡Qué vergüenza, don Pierre!
Pese a todo, a Christian Goldbach, coetáneo y amigo de Euler, aquella fórmula de los llamados números de Fermat le cayó muy en gracia. Y decidió utilizarla para probar la infinidad de los números primos por una vía distinta a la del viejo Euclides.
Antes de seguir adelante, convendrá advertir que, en realidad, la infinitud de los primos se deriva, sin más, según creo, de dos elementales premisas: 1. los números naturales n de N son infinitos, 2. todo número n mayor o igual que 2, o bien es primo, o bien es producto de primos. Como corolario o consecuencia obligada de esas dos premisas, se deduce “lógicamente” que P (conjunto de los primos) es infinito enumerable.
Pero, a lo que iba. El caso es que Goldbach procedió a demostrar la infinitud de P haciendo uso de los números de Fermat, proporcionados, como he dicho antes, por la expresión Fn = 2^2^n + 1. Lo que hizo este señor fue probar que dos números cualesquiera de Fermat, aunque no fuesen primos, como había descubierto el ojo de águila de Euler, eran coprimos, o primos entre sí.
Si llamamos Pi al operador producto, entonces, aplicando este operador a la fórmula de Fermat, tenemos que Pi de Fk desde k=0 hasta k=n-1 = (2+1).(2^2+1)… [2^2^(n-1)]. Y lo que Goldbach hizo fue partir de ese Pi de Fk y establecer la igualdad
Pi de Fk = Fn – 2 (n mayor o igual que 1) (*)
La cual igualdad es fácil de probar mediante recursión por inducción sobre n. Para n=1 tenemos, en efecto, que F0=F1-2, ya que F0 = 3 y F1-2 = 5-2=3. Suponemos entonces que la igualdad de Pi antes citada es correcta, y probamos para el valor siguiente:
Pi de Fk desde k=0 hasta k=n = (Pi de Fk desde k=0 hasta n-1).Fn = (Fn-2)Fn = (2^2^n – 1)(2^2^n + 1) = 2^2^(n+1) -1 = F(n+1) -2. QED.
Probada, pues, la igualdad (*), se trata de ver a partir de ella que dos números cualesquiera de Fermat son primos relativos. Debido al -2 que aparece en esa expresión, está claro que, si (*) fuese divisible, el único divisor posible sería el 2. Pero eso es imposible, ya que todos los números de Fermat son impares. Por tanto, Fk y Fn son coprimos. QED.
La pregunta es: ¿cómo se deriva de ahí la infinitud de P?
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7/09/2006 21:39
Primos
