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Ordinales transfinitos
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En lo que sigue, voy a tener que hacer uso de la letra griega ‘omega minúscula’. Por razones de fuerza mayor, en vez de ‘omega minúscula’ pondré ‘w’. De modo que, cada vez que aparezca en el texto una ‘w’, habrá que entender que aparece una omega minúscula. O sea, se trata de redondear un poco los piquitos con la imaginación.
En los Grundlagen, o Fundamentos, de 1883, su obra maestra, Georg Cantor definió los números ordinales como los tipos de orden de los conjuntos bien ordenados. Ya hemos visto en un post mío anterior lo que son los conjuntos bien ordenados: aquellos que están ordenados y tienen un primer elemento. Pues bien, se dice que dos conjuntos bien ordenados tienen igual tipo de orden si son isomorfos. ¿Y qué quiere decir que dos conjuntos son isomorfos? Sin profundizar mucho, digamos que significa que esos conjuntos son estructuralmente idénticos entre sí. En lenguaje algo más técnico, puede decirse pues que los tipos de orden son clases de equivalencia, con respecto a la relación de isomorfía, de conjuntos bien ordenados. Esto se entenderá mejor, o eso espero, con los ejemplos que pondré a continuación.
En vez del ocho tumbado, que había sido utilizado en matemática de un modo un poco alegre o irreflexivo, Cantor llamó w al tipo de orden de los números naturales. Es decir que, si tenemos la sucesión I de los enteros positivos: 1, 2, 3, …, n, … , y aunque esa cantidad de números es infinita y no hay ningún número que sea el mayor de ellos, nada impedía concebir un nuevo número w que sería expresión de que la colección I completa está dada regularmente conforme a su sucesión natural. Según el “primer principio de generación” (que consiste en agregar una unidad a un número ya formado y disponible), tendríamos entonces que, tras todos los números naturales, vendrían:
w, w+1, …, w+n, …
De nuevo sería imposible llegar así nunca a un número mayor que los de la sucesión, lo cual no impide tampoco ahora concebir uno nuevo, w.2, que habría de ser el primero que sigue a todos los anteriores n y w+n. De modo que, aplicando de nuevo el primer principio de generación, tendríamos como continuación de los números anteriores:
w.2+1, w.2+2, …, w.2+n, …, w.3, …, w.n, …
En cuanto a los números w, w.2, …, w.n, … la función lógica que nos ha permitido llegar a ellos es distinta del citado “primer principio de generación” (que solo nos da un sucesor a+1 para todo a). A tal segunda función lógica la llama Cantor “segundo principio de generación”, que define así: dada una sucesión de verdaderos números enteros definidos, entre los cuales no hay uno que sea el mayor de ellos, en virtud de este segundo principio se crea un nuevo número al que se concibe como el límite de aquellos números, esto es, se define como el número inmediatamente mayor que todos ellos.
Pero hagamos una pausa. Considero que lo dicho requiere ser meditado cuidadosamente antes de seguir adelante. Pues (en mi modesta opinión) no es fácil de aprehender. Y eso en el supuesto de que no haya cometido yo algún error más o menos garrafal de exposición, en cuyo caso confío en que otros aficionados a, y entendidos en, esta entretenida temática habrán de salir sin falta al quite.
18/09/2006 18:15
Ordinales transfinitos
