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Re: Ordinales transfinitos
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Muy bién, me alegra ver que el post se anima, y van apareciendo nuevas aportaciones. Yo como granito de arena, introduciré los ordinales que mencionas siguiendo la descripción de Von Newman en lugar de la de Cantor, y así tendremos ambas visiones de la jugada. Deciamos que hay ordinales sucesores y ordinales límite. Como expliqué anteriormente si A es un conjunto su sucesor viene dado por el conjunto s(A)=U {A,{A}} (conjunto cuya existencia queda garantizada por el teorema del par y el axioma de la gran unión).Así el 0 (entiendase 0=conjunto vacío) es un ordinal límite, ya que no es sucesor de ningún ordinal mientras que 1=s(0)={0}, 2=s(1)=s(s(0))={0,{0}} etc.... son ordinales sucesores. Como hemos afirmado, todo sucesor de un ordinal es a su vez un ordinal, lo que por inducción nos permite afirmar que todo número natural es un ordinal. Ahora bién, para afirmar que existe un conjunto cuyos elementos son precisamente los números naturales y solo ellos, nos hace falta el axioma del conjunto infinito. Aceptado este axioma se puede demostrar la existencia de N, y resulta que N es otro ordinal, que no es sucesor sinó límite, según la definición dada de ordinal. Sin embargo, si N es ordinal, entonces, s(N)=U {N,{N}}={0,1,2,.......,N} también lo es, y lo mismo puede decirse de s(s(N))=U {S(N),{S(N)}}={0,1,2,....,N,s(N)} etc.... Entonces la pregunta és, si 0,1,2,.....,N,s(N),s(s(N)),s(s(s(N))) ...... son todos ellos ordinales , existirá el ordinal límite N.2={0,1,2,........,N,s(N),s(s(N)).......}? La respuesta es que sí. La razón es que N.2 en todo caso es un conjunto numerable, lo que por el axioma del reemplazo nos permitiría afirmar su existencia a partir de la existencia de N y de los elementos de N.2. Incluso, el mismo razonamiento nos permitiría afirmar la existencia del ordinal límite N.3={0,1,2,....,N,s(N),s(s(N)),.......,N.2,s(N.2),s(s(N.2))........}, y así sucesivamente la existencia de infinitos ordinales límite creados de esta forma. Incluso podriamos ir más lejos y preguntarnos, existirá el conjunto NN={0,1,2,....,N,s(N),s(s(N)),.......,N.n,s(N.n),s(s(N.n))........}, es decir, un conjunto que tenga por elementos a todos los ordinales que hemos construido hasta ahora? Hasta ahora podiamos usar el procedimiento del reemplazo, ya que siempre teniamos una cantidad finita de conjuntos numerables. Ahora sin embargo tenemos una cantidad infinita numerable de conjuntos infinitos numerables y la cosa no es tan obvia. Vamos a demostrar que sí es posible afirmar que tal reunión es numerable, incluso y como hago, sin usar axioma de elección alguno. Vamos a numerar cada uno de nuestros conjuntos, de la forma A1, A2, A3 etc.....Como la cantidad de conjuntos es numerable, podemos hacerlo. Así mismo vamos a suponer todos los conjuntos disjuntos, lo que no quita generalidad a la demostración, ya que siempre podemos forzar las cosas para que sea así. Así cualquier elemento de la reunión de dichos conjuntos será de la forma A(n,m ) en donde n representa el conjunto en cuestión y m el orden de dicho elemento en el conjunto. Es obvio que existe una aplicación inyectiva de N en el conjunto reunión, sirva por ejemplo la biyección de N con cualquiera de los conjuntos de la reunión. Ahora se trata de demostrar que existe una aplicación inyectiva desde el conjunto reunión hasta N, lo que por el teorema de Cantor-Bernstein (teorema que es constructivo y no usa el axioma de elección) implicará, que existe una biyección entre ambos. Hemos dicho que cada elemento del conjunto reunión podía expresarse en la forma A(n,m) siendo n y m naturales únicos para cada elemento de la reunión. Pues la aplicación inyectiva en cuestión, la podemos encontrar usando números primos, a saber, A(n,m)------->2^n*3^m. Eso demuestra que nuestro nuevo ordinal límite NN efectivamente existe, y existiran sus sucesores y otros ordinales límite siguiendo procedimientos análogos a los que hemos hecho. Sin embargo, notemos que hasta el momento, y sin usar el axioma de elección, hemos obtenido una infinitud de ordinales transfinitos, pero eso sí, todos ellos numerables, osea que si de lo que se trata es de ordenar un conjunto a partir de su ordinal asociado, seguimos en las mismas, si es finito o numerable bién, pero y si no lo és? Podemos escapar del axioma de elección para ordenar un conjunto no numerable? Existirá algún ordinal o cardinal transfinito y no numerable sin el axioma de elección? Son preguntas al aire, que nadie se asuste ;) Bién, yo de momento me retiro a las sombras, en espera de a que maravillosos mundos nos llevará Lemuel en su , espero, próximo post. Y no lo digo en broma, el matemático es él, yo simplemente soy un aficionado, que le provoca ;) Se admiten también aportaciones espontaneas, que habrá más gente que tenga algo que decir sobre el tema, digo yo....
19/09/2006 02:47
Re: Ordinales transfinitos
