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Sistema: Windows XP
Re: Fundamentos de la matemática
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^Cuervo^ y servidor, en una tarde-noche de chateo, llegamos a la conclusión (con demostración incluida) de que el clásico axioma del conjunto inductivo, que lo que viene a decir es que existe el conjunto de los números naturales, se puede deducir del axioma del conjunto infinito. Para el que no estuviera presente, reproduzco aquí dicha prueba.
Sea I un conjunto infinito; es decir, un conjunto que no es biyectable con ningún número natural (adoptamos esa definición de infinito). Primero voy a probar que para cada número natural (entendido como conjunto) existe un subconjunto de I biyectable con él. Evidentemente, como 0 es el vacío, y el vacío es un subconjunto de I, la proposición es cierta para el 0. Supongamos que n es un número natural y existe un subconjunto A de I biyectable con n. I-A no es el vacío, ya que si lo es, A=I, pero A es finito e I es infinito. Por tanto existe x€I-A. Así, es claro que n U {n} es biyectable con A U {x}.
Ahora, podemos definir el siguiente conjunto: N'={m€P(I) tales que m es biyectable con un número natural} y ahora la relación R en la que mRm' si y sólo si m y m' son biyectables. La relación R es obviamente de equivalencia. Definimos N=N'/R.
20/09/2006 15:51
Re: Fundamentos de la matemática
