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Re: Ordinales transfinitos, y 3
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Te felicito por tus posts, que intentan en pocas lineas, dar una idea del concepto y la magnitud que abarca el estudio de los ordinales, sin ser demasiado formales. Yo he intentado ser un poco más formal en los míos, a la vez, que he intentado una construcción alternativa, la de Von Newman en vez de la de Cantor. Pero ambas llevan a los mismos resultados enrealidad, aunque la de Von Newman, sea a mi forma de ver, más respetuosa con la axiomática de conjuntos. Sin embargo el formalismo tiene sus límites en los posts, y dar una idea de la formulación exacta de todo lo que afirmas, desde el punto de vista de un formalismo exigente, es tarea más propia de un pdf que de un post. Lo digo porque, por ejemplo, en lo que respecta simplemente a la suma de ordinales, hemos pasado muchos aspectos por alto. No la hemos definido rigurosamente, porque para ello, tendriamos que hablar no solamente del principio de inducción transfinita (algo insinue en alguno de mis posts, pero de pasada), del de recursión intimamente ligado a él, del de función normal como bién mencionas al hablar de Cantor. Todo ello para poder demostrar simplemente que la suma de ordinales es una operación bién definida, en el sentido de que para cualesquiera ordinales A y B su suma A+B, es otro ordinal. Que se basa en las tres propiedades que dije en el post anterior, y que precisamente es una función normal. Lo mismo podría decir del producto y la exponenciación de ordinales. Lo interesante de tal formulación, es que no solo se obtienen las propiedades que dices y otras (como por ejemplo, la relación entre suma y producto y la relación de orden), sinó que además nos permiten demostrar las propiedades conocidas en los números naturales con las operaciones en cuestión, así como su relación con la relación de orden usual en N. Osea que si te interesa, te propongo que no subamos tan alto por el momento, y nos centremos antes de definir la suma, en lo que sería el principio de inducción transfinita, y el de recursión para empezar, es decir, si te apetece y dispones de tiempo para ello. Yo empezaré atacando con la inducción transfinita, y si te parece dale tú al de recursión. Hay algunas propiedades interesantes de los ordinales que conviene tener en cuenta, y que hemos mencionado de pasada. Una que haremos servir mucho es que para cualesquiera ordinales A y B, se da una, y solo una de las siguientes relaciones, a saber, o bién A=B, o bién A€B, o bién B€A. La demostración es larguilla, osea que en este caso os redimo de ella. Si tenemos dos ordinales A y B, tenemos por definición que si A€B entonces A está incluido estrictamente en B. Digo estrictamente porqué si A€B no puede ser a la vez A=B, por lo dicho anteriormente. Además sí A€B y B=A, tenemos que A€A lo que contradice el axioma de regularidad. Muy bién, vamos a ver ahora que el reciproco és también cierto, es decir, si A incluido estrictamente en B, entonces A€B. Sí A incluido estrictamente en B, no puede ser A=B por la inclusión estricta, y tampoco puede ser B€A, ya que si B€A, por definició de ordinal todo elemento de B pertenece a A, y como A <> B, tenemos que B incluido estrictamente en A. Contradicción. Luego ha de ser A€B. Bién, notemos también que para todo ordinal O, se cumple que O=U S(O). Ya que S(O), tiene por elementos al los elementos de O y al propio O, y por definición de ordinal los elementos, de los elementos de O pertencen a O. Osea que todo ordinal, es igual a la gran unión de su sucesor. Si un ordinal O es sucesor de otro ordinal, entonces tenemos que su antecesor es U O, ya que S(U O)=O. Por el contrario si un ordinal és límite tenemos que O=U O. Además como dijimos en otro post, dado un ordinal O, no existe un ordinal P, tal que O < P < S(P). De todas estas propiedades se deriva, que los elementos de un ordinal, son precisamente, todos aquellos ordinales estrictamente menores que él. Una consecuencia, es que el vacío es elemento de todo ordinal, y además su elemento mínimo. Lo que junto a la relación de orden total que podemos establecer con la pertenencia y la igualdad, o la inclusión, demuestra que el orden asociado a un ordinal es un buén orden. Dicho esto, enunciaré el principio de inducción transfinita, equivalente al de inducción para N, pero extendido para los números ordinales en general. Este principio nos dice, que si queremos demostrar una propiedad para todos los ordinales, debemos proceder de la siguiente forma. Si para cualquier ordinal O , el hecho de que se cumpla la propiedad para todos aquellos ordinales que son estrictamente menores que él, implica que se cumpla para O, entonces dicha propiedad se cumple para todo ordinal. ( Notemos que para el vacío se cumple la propiedad de forma trivial por no tener ordinales estrictamente menores). Una forma alternativa de plantear la inducción transfinita es en 3 etapas. Primero demostrar que si se cumple para cualquier ordinal O, se cumple también para S(O). Segundo, que si se cumple para todo elemento de un ordinal límite L ( Lo que es lo mismo que decir que se cumple para todo ordinal estrictamente menor que L), se cumple también para L. Tercero, que el vacío lo cumple. bién , os dejo meditar sobre lo dicho, y espero las siguientes aportaciones.
22/09/2006 00:47
Re: Ordinales transfinitos, y 3
