Host: No mostrado/ Not shown
IP: No mostrado/ Not shown
Sistema: Windows XP
Axiomática cantoriana
Publicidad
Dices que la construcción de von Neumann es “más respetuosa” que la de Cantor con la axiomática de conjuntos. Eso es desde luego muy cierto. Yo creo que incluso te quedas corto: de hecho, los trabajos de Cantor no se fundamentan en ninguna axiomática conjuntista propiamente dicha, es decir, que en este sentido no trabajó axiomáticamente. Esa tarea la llevaron a cabo después de él autores como Zermelo, Skolem, Fraenkel, el propio von Neumann (que aportó sobre todo el axioma de limitación de tamaño), etc. Por otra parte, como seguramente sabes, tanto Hermann Weyl como el propio Skolem desecharon en un momento dado la teoría axiomática de conjuntos, pues resultaba “muy claro” que tal teoría “no constituía una fundamentación satisfactoria de la matemática”. Aunque, por lo visto, luego cambió de opinión, Skolem adujo entonces ciertas objeciones en contra de una teoría de conjuntos axiomática como fundamento para la matemática. En cuanto a Gödel (y supongo que sobre esto hablará NuezMoscada en su prometedora serie, ya iniciada, de posts sobre ese señor), a él se debe la introducción de la concepción iterativa de los conjuntos, que básicamente descansa sobre el llamado axioma de fundamentación: que toda cadena en la que cada elemento es miembro de otro elemento previo es de longitud finita. En fin, que sobre estos asuntos habría mucho que hablar.
Pero nada de lo anterior quiere decir que Cantor no se basase a fin de cuentas en una serie de supuestos axiomáticos: únicamente significa que tales supuestos no se refieren a los propios conjuntos, sino que definen solo determinadas relaciones y funciones que cumplen los elementos que conforman los conjuntos. Se trata de axiomas como los siguientes:
Axioma 1. Los ordinales están linealmente ordenados por <.
Axioma 2. Todo ordinal α distinto de 0 es tal que 0<α.
Axioma 3. Todo ordinal α tiene un sucesor inmediato α + 1.
Axioma 4. Existe un número ordinal w tal que 0<w. Para todo ordinal α, si α<w, entonces α+1<w y para cada ordinal distinto de cero α<w hay un ordinal β tal que α = β+1.
Axioma 5. Los conjuntos que tienen los mismos elementos son iguales.
Axioma 6. Todo conjunto de ordinales tiene una cota superior mínima.
22/09/2006 12:37
Axiomática cantoriana
