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Congruencias, II. Divisibilidad
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Cuando escribimos, por ejemplo, 17 = 3 (mód 2) (que, como ya sabemos, solo quiere decir que 17-3 es divisible entre 2), hacemos un uso inapropiado del signo de igualdad ‘=’. Lo correcto, pero difícil de conseguir cuando se escribe en medios como este, sería utilizar otro signo distinto, pero muy parecido, formado por tres rayitas horizontales en vez de dos. La necesidad del nuevo signo procede de que una cosa es la igualdad algebraica, que va con dos rayitas, y otra cosa parecida pero distinta es la congruencia modular, que va con tres. Y es que, aunque igualdad y congruencia tienen muchas propiedades comunes, hay veces en que con las tres rayitas no son válidas las reglas del álgebra del signo ‘=’. Así, en el álgebra corriente o del signo ‘=’, si tenemos por ejemplo que 5x = 5y, eliminando, simplificando o cancelando tranquilamente esos factores comunes 5, podemos deducir sin temor a equivocarnos que x = y. En cambio, en el álgebra modular o de congruencias, del hecho evidente de que 5*7 = 5*9 (mód 10), dado que 35-45 = -10, de ninguna manera cabe derivar sin error que, cancelando los factores 5, se verifique que 7 = 9 (mód 10). Esta última relación es falsa, puesto que 7-9 no es divisible entre 10.
Lo cierto, sin embargo, es que, efectivamente, la mayor parte de las reglas del álgebra ordinaria pueden ser aplicadas a la modular. Nuestro erudito amigo ^Cuervo^ ya se ha referido al hecho de que tanto las relaciones que establece el signo “igual a” (‘=’) como las que corresponden al signo “congruente con” (tres rayitas) son, unas y otras, relaciones de equivalencia. Además de eso, es fácil demostrar que, si a = a’ (mód c) y b = b’ (mód c), ocurre también que:
1) a+b = a’+b’ (mód c) 2) a–b = a’-b’ (mód c) 3) a*b = a’*b’ (mód c)
Es decir: que las distintas congruencias con respecto a un mismo módulo pueden sumarse, restarse y multiplicarse como ocurre en el álgebra ordinaria. (Se propone al curioso lector que, si dispone de unos minutillos de ocio, demuestre pro domo sua estas sencillas propiedades.) De 3) se deriva además que a^m = (a’)^m (mód c). Propiedad esta última que utilizaremos ahora para deducir, p. ej., la regla de la divisibilidad de un número cualquiera entre 11.
Recordemos que, en el sistema de base 10 en el que habitualmente nos desenvolvemos los cristianos, un número cualquiera puede escribirse como suma de las correspondientes potencias de diez. Así, el número 17.314 puede escribirse como:
Invirtiendo, por razones de conveniencia operativa, el orden de los términos, un número entero z cualquiera puede escribirse:
z = a0 + a1*10 + a2*10^2 + … + an*10^n
(Hay que entender aquí que los numeritos a la derecha de las ‘a’ son subíndices.)
Puesto que vamos a intentar deducir la regla de la divisibilidad entre 11, veamos qué ocurre con las congruencias de esos diversos factores potencias de 10 en relación con el módulo 11. Recurriendo a la última de las propiedades antes citadas, tenemos que, módulo 11:
Comprobamos que 10 y sus sucesivas potencias son congruentes módulo 11 con -1, 1, -1, 1, …
Hagamos entonces
s = a0 – a1 + a2 –a3 + …
Restando esta expresión de la z anterior, tenemos:
z – s = a1*(10+1) + a2*(10^2-1) + a3*(10^3+1) + …
Está claro que todos esos números que multiplican a las sucesivas ‘a’, es decir, 11, 99, 1001, 9999, etc., son congruentes con 0 módulo 11 y, en consecuencia, también lo será z – s. ¿Qué significa eso? Pues significa que, al dividir por 11, z da el mismo resto que t. De lo que se desprende que un número z será divisible entre 11 si, y solo si, la suma alternada de sus cifras es divisible entre 11.
Por ejemplo, si nos pregunta nuestra bella e inquieta vecina del cuarto izquierda: ¿es divisible acaso entre 11 el número 868516?, mentalmente hacemos el cálculo 8-6+8-5+1-6 = 0, divisible entre 11, y respondemos con cara de listos: Sí, señorita, es divisible.
Comprobación: 868516 : 11 = 78956.
(Se propone al ocioso lector que halle análogamente las reglas para la divisibilidad de un número cualquiera entre 3, 7, 9 y 13, sin ir más lejos.)
7/10/2006 15:25
Congruencias, II. Divisibilidad
