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Hemos tenido últimamente diversas conversaciones sobre el tema de los cardinales transfinitos en el salón de ingenio, en las que han intervenido fundamentalmente [ajotatxe], Nuezmoscada y un servidor, y que me han sugerido algunas ideas que quiero exponer.
Hemos hablado en otros posts ampliamente sobre los ordinales, sobre su definición y sus propiedades, así como, de como definir las operaciones de suma, producto y exponenciación de ordinales, y de como demostrar las propiedades de dichas operaciones.
Para hablar de ordinales, he usado la definición que Von Nemann
hace de ellos, definición que parece bastante sólida en cuanto a ordinales se refiere, y és la usualmente aceptada.
Así Von Nemann nos dice que un conjunto és transitivo, sí y solo sí, todo elemento de dicho conjunto está incluido en él.
Por otro lado nos dice que un conjunto O és un ordinal, sí y solo sí, O és transitivo, y todos sus elementos también lo son.
A partir de esta definición, y usando la axiomática de conjuntos pueden probarse muchos teoremas interesantes. Así tenemos que el conjunto vacío és un ordinal, que para cualquier ordinal su sucesor también lo és, que el propio N és un ordinal, que el conjunto de todos los ordinales és una clase propia, que los elementos de un ordinal son a su vez ordinales, que la gran intersección de un ordinal és un ordinal, y además és el elemento mínimo de dicho ordinal. Que la gran unión de un ordinal és un ordinal etc...
El más importante de todos ellos, és el de que todo buén orden és isomorfo al buén orden de algún ordinal.
Bién, pero aquí de lo que he venido ha hablar és de cardinales transfinitos, no de ordinales. Entonces, para que este enredo inicial?.
Veamos he dicho que la definición de Von Nemann sobre los ordinales, me parece sólida, sin embargo, su definición sobre los cardinales no me parece igualmente acertada, y voy a exponer porqué.
Von Nemann definía un cardinal, como un ordinal que no puede biyectarse con ninguno de sus elementos. Y en principio, la idea no parece mala, e incluso és acertada cuando de cardinales de conjuntos numerables se trata, ya que con está definición tenemos que cualquier número natural y el propio N, son cardinales además de ordinales. Además cualquier ordinal distinto de estos que tenga una cantidad numerables de elementos no és un cardinal ya que puede biyectarse con alguno de sus elementos, como sucede por ejemplo con N+1=S(N)={0,1,2,3......,N}, que puede biyectarse con N.
Y porqué define Von Nemann así a los cardinales?. Pues muy sencillo. Una primera tentativa de intentar definir un cardinal, sería algo así como una relación de equivalencia en el conjunto de todos los conjuntos. Pero como ya sabemos, esa forma no és posible, ya que el conjunto de todos los conjuntos no és un conjunto sinó una clase propia.
Entonces Von nemann lo que hace és tomar un representante canónico de esas supuestas clases de equivalencia. Dicho representante és un cardinal, y todo conjunto que pueda biyectarse con él tiene por cardinal a este representante.
Así construye los naturales en la forma 0, {0}, {0,{0}}.... como ya hemos explicado anteriormente en otros posts, resultanto ser todos ellos, junto al propio N, cardinales según su definición, y por lo tanto los representantes canónicos de sus clases de equivalencia respectivas.
Hasta aquí muy bién.
Sin embargo el problema más serio de está definición, aparece cuando queremos hablar del cardinal de conjuntos no numerables.
El inicio de este problema se debe al teorema de Cantor, que afirma que no existe una correspondencia biyectiva entre un conjunto y el conjunto de sus partes. Como por otra parte si existe una correspondencia inyectiva entre estos conjuntos, parece lógico afirmar que debería cumplirse que |P(X)|>|X|, para todo conjunto X.
Sin embargo, con la definición de Von Nemann no queda claro cual debería ser el cardinal de P(N), ya que P(N) no és ordinal, por lo tanto no puede ser cardinal según esa definición.
Igualemente, no podemos precisar cual és el representante canónico que tomamos como cardinal para cualquier conjunto no numerable.
Como soluciona Von nemann este entuerto?. Pues fácil, hechando mano del axioma de elección. Aceptando dicho axioma, todo conjunto tiene un buèn orden y por lo tanto un ordinal asociado. Es más, aceptandolo, también és posible demostrar que todo conjunto tiene un único cardinal asociado.
Ahora bién, ello nos obliga a aceptar que todo conjunto no numerable puede bién ordenarse, cosa que a mi no me parece nada correcta. Sinceramente, no creo que esto sea así. Es más, me parece que buén orden y conjunto numerable, son inseparables uno de otro.
En cierta forma, lo que estoy diciendo, és que una consecuencia del axioma de elección, la que estoy mencionando, no me parece correcta. Osea que con el axioma de elección nos hemos pasado.
Ahora bién, si aceptamos que los conjuntos no numerables, no pueden bién ordenarse, como nos enfrentamos al problema de definir los cardinales para dichos conjuntos?.
Digamos que voy a adoptar una actitud claramente constructiva para intentar abordar el problema.
Que és lo que quiero decir en este caso con una actitud, claramente constructiva?. Pues muy sencillo. Cuales son los conjuntos que originan el problema?. Pues aquellos conjuntos no numerables que podemos construir a partir de la axiomática de conjuntos, y no otros. Es decir, los conjuntos que podemos construir con el axioma de partes.
Entonces, básicamente el problema reside en intentar dar sentido al concepto de cardinal, para conjuntos del tipo P(N),P(P(N)),P(P(P(N))),.......
Lo que enrealidad necesitamos, és un representante canónico, para los conjuntos que pueden biyectarse con cada uno de ellos, y así poder decir que dicho representante és su cardinal.
Bién, repasemos ahora la definición de Von Nemann de un cardinal. Von nemann exige 3 cosas para que un conjunto sea un cardinal, a saber:
1/ Que sea transitivo.
2/ Que sus elementos también lo sean.
3/ Que no pueda biyectarse con ninguno de sus elementos.
Como hemos dicho, dicha definición implica que todo cardinal és también un ordinal.
Esta idea és correcta para los cardinales con una cantidad numerable de elementos, porque como hemos dicho, el ser numerable debería ser sinónimo de tener un buén orden.
Sin embargo para conjuntos no numerables, no deberiamos exigir tal cosa, es decir, para un cardinal de un conjunto no numerable, opino que con la primera y la tercera condición és suficiente para definir un cardinal
Así, para conjuntos numerables, la definición de Von Nemann seguiría siendo válida, mientras que para conjuntos no numerables, lo único que deberiamos exigir a un conjunto para que fuera un cardinal, debería ser, que fuera transitivo, y que no pueda ser biyectable con ninguno de sus elementos, prescindiendo de la exigencia de que sus elementos también sean transitivos.
Esta sencilla manera de proceder, convierte a P(N) en cardinal, y además mantiene la relación de orden ususal en los ordinales, ya que todo natural y N mismo, pertenecen y estan incluidos en P(N). Asimismo tenemos que P(P(N)) o P(P(P(N))) también serían cardinales con la nueva definición, y cualquier cardinal menor que ellos estaría incluido y sería elemento de los mismos.
En general si X fuera un cardinal transfinito, és fácil demostrar que P(X) también lo sería, y que cualquier cardinal menor que él que podamos construir con la axiomática de conjuntos, pertenecería y estaría incluido en él.
Yo diría que adoptando este punto de vista constructivo, el problema no es tan grande. Aunque pueden ustedes intentar construir algún conjunto que no tenga por cardinal algunos de los así definidos. Y quién sabe, alomejor si lo consiguen, resulta que dicho conjunto és transitivo y no puede biyectarse con ninguno de sus elementos, y por lo tanto és un nuevo cardinal de nuestra definición.
Me gustaría que aportaran comentarios y opiniones sobre esta idea, me gustaría saber que les parece.
Un saludo
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5/05/2007 13:11
Una posible definición alternativa del concepto de cardinal.
