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Expongo aquí dos enunciados, el Axioma de Elección (AE) y el Lema de Zorn (LZ).
Es conocido que AE y LZ son equivalentes (bajo el sistema de axiomas de Zermelo Fraenkel). Expondré en este post AE--->LZ. Se invita a algún otro usuario que haga lo propio del recíproco.
Para entender dicha prueba es necesario comprender en profundidad el producto cartesiano.
PRODUCTO CARTESIANO: Sea I un conjunto y F una familia de conjuntos. Supongamos que existe una aplicación biyectiva f:I-->F. En vez de f(i) escribiremos Fi. (Intuitivamente, F es una familia de conjuntos indexada por el conjunto I). El producto cartesiano de la familia F (o de los conjutos Fi) es el conjunto de funciones de I en la unión de los conjuntos de F tales que la imagen de todo i€I pertenece a Fi.
AXIOMA DE ELECCIÓN: El producto cartesiano de cualquier familia no vacía de conjuntos no vacíos es no vacío.
Se suele formular el AE diciendo que dada una familia de conjuntos existe un conjunto que tiene exactamente un elemento de cada conjunto de la familia. La "elección" es cada una de las funciones elementos del producto cartesiano. El axioma de elección nos dice que el producto cartesiano es no vacío, es decir, que existe alguna de esas funciones o elecciones. Esto que parece obvio intuitivamente tiene unas consecuencias tan extrañas que el AE ha sido "apartado" del sistema de Zermelo-Fraenkel y suscita debates a cerca de si se debe incluir o no en la matemática estándar. (Véase, por ejemplo, la charla que mantuvo ^Cuervo^ con diferentes miembros del canal ingenio).
Una de dichas consecuencias (no especialmente extraña a la intuición) es el lema de Zorn.
Antes de enunciarlo, conviene antes definir (no lo haré formalmente, pues entiendo que si el lector no sabe lo que es un conjunto ordenado, probablemente agradecerá una exposición más divulgativa) ciertos conceptos relacionados con conjuntos ordenados. Si usted, lector, conoce estas definiciones, puede pasar tranquilamente al epígrafe titulado "Lema de Zorn".
RELACIÓN: Una relación en un conjunto X nos dice si dos elementos de X están o no relacionados. Por ejemplo, en el conjunto de los números naturales, la relación < nos dice que 3 está relacionado con 4 (3<4) pero no al revés, es decir, que 4 no es menor que 3. En el conjunto de las palabras, podemos dar la relación "... empieza con la mismpa letra que...". Así, 'bocadillo' estaría relacionado con 'bastón' pero no con 'comida'.
RELACIÓN DE ORDEN: Las relaciones pueden tener ciertas propiedades, como transitiva, simétrica, etc. Algunas de ellas son características de las relaciones de orden. Una relación <= de orden es la que tiene estas propiedades:
-Transitiva: tomados tres elementos cualesquiera x,y,z tales que x<=y, y<=z, se cumple que x<=z.
-Antisimétrica: si x<=y, y<=x entonces x=y.
Aclaración: al contrario que con la ordenación de números, nada garantiza que dados dos elementos sea alguno de ellos mayor que otro. Por ejemplo, podemos decir que el conjunto {k,b,p} es menor que el conjunto {k,b,p,s} pero el conjunto {f,m,u} no es mayor ni menor que ninguno de los anteriores. Cuando dos elementos cualesquiera son comparables, se dice que el orden es total, pero no es éste el caso que nos ocupa.
CADENA: Dado un conjunto con una relación de orden (es decir, un conjunto ordenado), es posible que haya subconjuntos del mismo cuyos elementos sean todos comparables. Al ser el orden transitivo y antisimétrico, podemos imaginarnos estos elementos en una línea, ordenados de menor a mayor. Estos subconjuntos se llaman cadenas.
ELEMENTO MAXIMAL: En un conjunto ordenado un elemento maximal es aquél que no es menor que ningún otro. Obsérvese que esto no implica que sea mayor que todos, ya que puede haber elementos que no sean comparables con él, es decir, que no sean ni mayores ni menores.
COTA SUPERIOR: En un conjunto ordenado X, podemos considerar un subconjunto Y. Si algún elemento x de X es mayor que cualquier elemento de Y, se dice que x es una cota superior de Y.
SUPREMO: Es, caso de que exista, la menor de las cotas superiores.
LEMA DE ZORN: Dado un conjunto ordenado no vacío X, si toda cadena de X tiene una cota superior, entonces X tiene elementos maximales.
DEMOSTRACIÓN DE AE-->LZ:
1ª PARTE: Sea X un conjunto ordenado no vacío. Supongamos que toda cadena de X tiene supremo. Vamos a probar que X tiene elementos maximales.
Supongamos que no los tiene. Para cada x€X consideramos los conjuntos Fx. El conjunto Fx tiene todos los elementos de X que son mayores que x. Hemos supuesto que ningún x€X es maximal, por lo que Fx no es vacío para ningún x€X. Sea f una función de X en la unión de los Fx tal que f(x)€Fx para todo x. Esta función existe por el AE. Es decir, f(x)>x para todo x€X.
Fijamos a€X. Consideramos la familia F de subconjuntos A de X que complen estas propiedades:
*a es el ínfimo de A (la mayor de las cotas inferiores).
*f(A) está contenido en A
*Si Y es una cadena de A entonces el supremo de Y (cuya existencia está garantizada por hipótesis) está en A.
La familia F es no vacía puesto que {a} unión f(a) está en F.
...
...
...
(La parte que falta la podré en otro momento)
2º PARTE: Si toda cadena de X tiene cota superior, entonces X tiene elementos maximales. En efecto. Consideramos en conjunto C de todas las cadenas de X, que es no vacío, pues en C están los subconjuntos de X con un solo elemento. En C damos la relación de inclusión. Una cadena en C típica sería {{a},{a,b},{a,b,c},...} donde {a} {a,b} {a,b,c} son cadenas de X. Es obvio que la unión de los elementos de una cadena de C es una cadena de X. Además, esta unión es supremo de dicha cadena. Por la primera parte, C tiene elementos maximales. Sea c un elemento maximal de C (ojo, c es un subconjunto de X). Entonces c es una cadena de X. Por hipótesis existe un elemento m de X que es cota superior de c. El elemento m debe ser maximal en X (si no lo fuera, c no sería maximal en C). Esto termina la prueba.
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27/05/2007 16:46
El axioma de elección implica el lema de Zorn. Entrega 1.
