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He encontrado un ejemplo harto curioso que quiero compartir con vosotros. Se trata del conjunto omega, Ω, el cual toma la forma de un ordinal intermedio entre el cardinal de los naturales, y c, el cardinal de los reales. Es como si te dijeran: No sabemos si existen los extraterrestres, pero si existieran, tendrían esta pinta. No sólo tiene esta curiosa propiedad sino que además nos provee de numerosos contraejemplos en topología.
Este ejemplo lo he encontrado en el maravilloso libro de K.D. Joshi Introduction to General Topology de la editorial Wiley Eastern, el cual recomiendo encarecidamente.
Voy a aprovecharme de forma descarada de algunas de las definiciones que ya dio [ajotatxe] en su post anterior
En concreto la de relación de orden, el cual denotaré por orden parcial para resaltar el hecho de que no todos los elementos son comparables. Ya que estamos, cabe decir que si todos los elementos son comparables, el orden es total o lineal. También usaré las definiciones de cadena, maximal, cota superior y supremo. Me faltan, aún así, unas definiciones adicionales:
MÁXIMO: Un elemento x de A se dice que es el máximo si para todo a € A-{x }, a<x. Respectivamente se define el mínimo. Antes de seguir hagamos unas observaciones acerca de estas definiciones: Es posible que un conjunto tenga varios elementos maximales, pero si tiene elemento máximo, éste es único y además el único elemento maximal del conjunto. Por otra parte, la existencia de un único elemento maximal no garantiza la existencia de máximo. Es importante resaltar que en el caso de las cadenas, la distinción entre elemento maximal y máximo desaparece, pues en las cadenas todo par de elementos es comparable.
BUEN ORDEN: Un subconjunto A de un orden parcial (S, ≤) se dice que está bien ordenado si cada subconjunto no vacío de A tiene elemento mínimo. Por ejemplo, si ≤ es el orden parcial habitual de los reales, el subconjunto de los enteros está bien ordenado aunque el conjunto de los reales no lo esté. Cuando el conjunto S está bien ordenado, diremos que ≤ es un buen orden de S.
El tipo de orden de un conjunto bien ordenado se llama ordinal. Observemos que todo buen orden, es también un orden total. Cabe decir aquí también que el principio de la buena ordenación (todo conjunto admite un buen orden) es equivalente al axioma de elección.
SEGMENTO INICIAL: Si X es un conjunto bien ordenado y x€X entonces el conjunto de elementos que preceden a x, esto es el conjunto {y€X; y<x} se llama segmento inicial de X determinado por x. Lo denotaremos por W_x.
CONJUNTO CONTABLE: En el contexto de estos post usaré el término contable como el cardinal de un conjunto finito o numerable. Para más información sobre el cardinal de conjuntos, en este mismo foro hay multitud de referencias. Pueden usar el buscador interno para encontrarlas.
Hasta aquí las definiciones previas.
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2/06/2007 17:17
El ordinal omega, la hipótesis del continuo y el axioma de elección: Definiciones previas
