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Fundamentos de la matemática I (segunda entrega)
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(continuación)
1. Bernays (1937-1954, 1958), apoyándose en un cálculo restringido de predicados de su propia invención, simplificó y reformuló el sistema de von Neumann en un lenguaje más próximo al habitual. En su sistema, Bernays distingue entre clases, que se aproximan a los II.Dinge de von Neumann, y conjuntos, que se asemejan a los I.Dinge. Las clases y los conjuntos son, así, entidades esencialmente diferentes. A pesar de ello, puede haber clases y conjuntos que tengan los mismos elementos (asemejándose a los I.II.Dinge de von Neumann). Una clase nunca es un conjunto, pero a cada clase “normal” corresponde un conjunto. Por el contrario, a cada clase última no corresponde ningún conjunto.
2. Una última simplificación del sistema se debe a Gödel (1938-1939, 1940), quien identificó las clases normales con los conjuntos correspondientes. Se llega así a una teoría en la que no hay más que clases. Las clases que son elemento de otras clases son los conjuntos y las clases que no son elemento de ninguna otra clase son las clases últimas.
3. Al sistema axiomático creado por von Neumann y posteriormente revisado por Bernays y Gödel, se le conoce como sistema NBG.
4. En el sistema ZF no hay nada que se parezca a un teorema general de existencia de conjuntos. Como ya se ha dicho, son los axiomas los que, bajo determinadas condiciones, permiten construir determinados conjuntos. En los sistemas NBG, por el contrario, la existencia de clases no se toma como axioma. De hecho, Gödel demuestra inmediatamente después de introducir sus axiomas, el [meta]Teorema general de existencia: Si φ(x1, …, xn) es una fórmula primitiva que no contiene más variables libres que x1, …, xn, (no necesariamente todas ellas) entonces existe una clase A tal que para cualesquiera conjuntos x1, …, xn: <x1, …, xn> € A <---> φ(x1, …, xn).
5. En este teorema se entiende por fórmula primitiva una fórmula bien construida que contenga únicamente variables, constantes, el símbolo de pertenencia y signos lógicos, y tal que todas sus variables ligadas sean variables de conjuntos. Gödel las define recursivamente. Evidentemente, una fórmula primitiva es una noción metamatemática.
6. Sin embargo, tal como demostró Quine (1940), no es necesario que las variables ligadas, se refieran a conjuntos. En efecto, cabe definir un esquema de formación de clases tal que para toda fórmula φ(x) en la que la variable y no esté libre, (Existe y)(Para todo x)(x € y <---> Cx & φ(x)) (Por favor, sustitúyase “Existe” y “Para todo” por los símbolos lógicos tradicionales y léase Cx “x es un conjunto”).
7. Puede construirse un sistema NBG que incorpore el esquema de formación propuesto por Quine con (I) el axioma de extensionalidad, (II) el axioma de formación de clases (comprehensión), (III) el axioma del par, (IV) el axioma de regularidad, (V) el axioma de la gran unión, (VI) el axioma del conjunto vacío, (VII) el axioma de reemplazo, (VIII) el axioma de infinitud, (IX) el axioma de elección y (X) el axioma del conjunto de las partes.
8. Bourbaki afirma en su tratado Éléments de Mathématique (en desarrollo desde 1939), que “todas las teorías matemáticas se pueden considerar una extensión de la teoría general de conjuntos”.
9. Se dice que una clase y es inclusiva precisamente si para cualquier elemento x de y, x es subconjunto de y. Denotamos que y es inclusiva mediante “Incl y”. Se dice que una relación r conecta la clase y precisamente si para cada par de elementos distintos x, z de y ocurre que x está en la relación r con z, o bien z está en la relación r con x. Denotamos que y está conectada por la relación de pertenencia mediante “E conecta y”. Se dice que una clase y está ordenada por la relación r precisamente si r es una relación transitiva, asimétrica (e irreflexiva) y r conecta y. Se dice, así mismo, que una clase y está bien ordenada por r precisamente si r conecta y, y además, todo subconjunto no vacío suyo tiene un mínimo elemento respecto a la relación r. Se puede demostrar que si r bien ordena y, entonces y está ordenada por r. Se define el siguiente de la clase x a la unión de x con la clase unitaria de x, es decir, a la clase x’ = x U {x}.
10. De acuerdo con Cantor, dos conjuntos ordenados M y N son similares si entre ellos hay una correspondencia biunívoca que preserva la relación de orden. Es inmediato comprobar que la relación “ser similar a” es una relación de equivalencia y en consecuencia, todos los conjuntos que son similares entre sí, y sólo ellos, pertenecen a una misma clase de equivalencia. Llamemos tipo a esta clase. Pues bien, de acuerdo con Cantor, los números ordinales no son otra cosa que los tipos de los conjuntos bien ordenados.
29/09/2007 18:12
Fundamentos de la matemática I (segunda entrega)
