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Fundamentos de la matemática I (tercera entrega)
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(continuación)
1. El procedimiento que siguió Cantor para definir los números ordinales no es admisible en las teorías axiomáticas. Nosotros necesitamos que los números ordinales sean conjuntos y nada nos garantiza que la clase de todos los conjuntos similares a un conjunto bien ordenado dado de antemano, lo sea. Por este motivo von Neumann consideró la posibilidad de identificar cada número ordinal, no con la clase de equivalencia correspondiente, sino con un representante de dicha clase. Además sugirió que la elección se hiciera de forma tal que la serie de números ordinales resultante estuviera bien ordenada por la relación (primitiva) de pertenencia. Esto exige que cada número ordinal sea inclusivo y que esté conectado por la relación de pertenencia. Esta condición es la que se utiliza para definir los ordinales al modo de von Neumann: Ord y <---> Incl y & E conecta y Num Ord y <---> Cy & Ord y
2. La clase de todos los números ordinales se llama Ω. Se puede demostrar que Ω es un ordinal, es decir, es una clase inclusiva conectada por la relación de pertenencia. Sin embargo, a diferencia de los números ordinales, no es un conjunto, sino una clase última. Más aún, Ω es el único ordinal que no es un número ordinal. Siendo Ω una clase última, el siguiente de Ω es el mismo Ω.
3. Los ordinales gozan de propiedades notables. Por ejemplo: Todo elemento de un ordinal es un ordinal. Todo subconjunto propio de un ordinal que sea inclusivo es un ordinal. Para cualesquiera dos ordinales x, y, ocurre que o bien x € y, o bien y € x, o bien x = y. Para todo ordinal y, si x € y, ocurre que o bien x’ € y, o bien x’ = y. Los números ordinales, además de gozar de estas propiedades, gozan de otras, por ejemplo: El conjunto vacío es un número ordinal. El siguiente de un número ordinal es un número ordinal. No existe ningún número ordinal tal que su siguiente sea Ω.
4. Se dice que un número ordinal es un número límite si, siendo distinto del conjunto vacío, no es el siguiente de otro número ordinal. Puede demostrarse que si y un número límite y x € y, entonces x’ € y. Así mismo, puede demostrarse que todo número límite es infinito.
5. Definir qué es un número límite no es lo mismo que demostrar su existencia. Si sabemos, en cambio, que existen números ordinales finitos. Lo es, por ejemplo, el conjunto vacío. También lo es, por lo tanto, su siguiente. Y también el siguiente de su siguiente. Y el siguiente del siguiente de su siguiente. Y así sucesivamente. Expresado en símbolos: los conjuntos 0. 1 = 0’ = 0 U {0} = {0}. 2 = 1’ = {0} U {{0}} = {0, {0}} = {0, 1}. 3 = 2’ = {0,{0}} U {{0, {0}}} = {0, {0}, {0, {0}}} = {0, 1, 2}. … Son números ordinales finitos. Los llamamos números naturales.
6. La clase de todos los números naturales, es decir, de los números ordinales finitos, la llamamos ω. En general, si x€ ω, x’€ ω. Se puede demostrar que ω es una clase inclusiva que está contenida en Ω. Por lo tanto, ω es un ordinal. Además, por el axioma de infinitud se sigue que ω es un conjunto. Por lo tanto ω es un número ordinal. Además, ω no es el siguiente de ningún número ordinal. En efecto, supongamos que el siguiente del número ordinal x es ω. Entonces, puesto que x€ x’, se tendría x€ ω, con lo que se tendría, igualmente, x’€ ω. Pero si esto es así, sería también ω€ω, lo cual es imposible. Por lo tanto, ω es número límite.
7. De hecho, ω. es el menor de los números límite y el menor de los números infinitos. Si y es un número límite, entonces ω. está incluido en él.
29/09/2007 18:13
Fundamentos de la matemática I (tercera entrega)
