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Fundamentos de la matemática I (cuarta entrega)
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(continuación)
1. En el sistema decádico posicional, los números naturales pueden definirse formalmente de la manera siguiente: Cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, en este orden. Números naturales: a) El 1 es un número natural. b) Si n es un número natural, entonces el siguiente de n, es un número natural. c) Ninguna otra cosa es un número natural. Regla de formación del siguiente: Dado un número natural n cualquiera, se construye el siguiente a n aplicando el procedimiento siguiente: a) Empezando por la derecha, selecciónese la primera cifra. Si esta fuera 9, cámbiese por 0 y sígase en b). En caso contrario sígase en c). b) Si existe, selecciónese la cifra que se encuentra inmediatamente a la izquierda de la que se tiene seleccionada. Si es 9, cámbiese por 0 y repítase b). Si no es 9 sígase sin más en c). Si no existe, añádase la cifra 0 en ese lugar y repítase b). c) Cámbiese la cifra seleccionada por la cifra que la sigue en orden y dése por concluido el proceso.
2. Con esta definición se ponen de manifiesto numerosas propiedades de los números para las que, sin embargo, no existe demostración. Por ejemplo: En el proceso de formación de los números naturales, nunca se repite un mismo número. La longitud de todo número natural n, con excepción del 1, es siempre menor que n. Cuando se cuentan los elementos de una colección, siempre se llega al mismo resultado, independientemente del orden que se haya seguido.
3. El siguiente texto lo tomo de N. Cuesta Dutari (La sinfonía del infinito, 1981): La numeración mal fundada de von Neumann “A los 20 años, John von Neumann (1903-1957), en su artículo ‘Zur Einführung der transfinite Zahlen’, definió un proceso recurrente para formar conjuntos a partir del conjunto vacío 0. Numeraremos las primeras etapas en el sistema diádico: Etapa 1 0 Etapa 10 {0} Etapa 11 {0{0}} Etapa 100 {0{0}{0{0}}} Etapa 101 {0{0}{0{0}}{0{0}{0{0}}}} El par de corchetes copulados, { }, hay que leerlo: ‘el conjunto cuyos elementos son’. Y los elementos son los conjuntos incluídos dentro, que son, precisamente, todos los formados en las etapas precedentes. El lector puede probar, como ejercicio, que la supresión de los corchetes de apertura no cambia el significado del signo: los de cierre, en efecto, determinan el lugar donde habría que colocar el de apertura copulado con él. Según esto, tendríamos para las primeras etapas: Etapa 1 0 Etapa 10 0} Etapa 11 00}} Etapa 100 00}00}}} Etapa 101 00}00}}00}00}}}} Evidentemente, si cambiamos el signo } por el 1, el cambio no altera lo esencial. Y tendríamos este sistema de sucesiones diádicas que nos servirían para contar: Etapa 1 0 Etapa 10 01 Etapa 11 0011 Etapa 100 00100111 Etapa 101 0010011001001111 La regla de formación, como se ve, es la siguiente: En cada etapa se empalman todas las ‘palabras’ construidas en las etapas precedentes, en el orden en que fueron construidas, añadiendo al final la ‘cifra’ 1. Dejamos al lector el siguiente: Problema. Dar un criterio que permita distinguir entre las expresiones diádicas numerales (bien formadas) y las no numerales (mal formadas).”
29/09/2007 18:37
Fundamentos de la matemática I (cuarta entrega)
