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Para meditar un rato...
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En primer lugar me gustaría felicitarle por su post, en el que hace usted un buen repaso de las teorías axiomáticas de conjuntos del siglo XX y de una forma elaborada y bastante exacta. Su lectura me incita por eso a hacer algunas puntualizaciones para meditar sobre algunos temas de fondo que todo ello lleva a mi parecer implícito. Cierto es que cuando de física se trata, nada es infinito, y que por lo tanto nada hay en la física que nos de pie hoy por hoy, para afirmar o negar la existencia o las propiedades de los ordinales o cardinales transfinitos. De ahí precisamente la indecidibilidad real de muchos enunciados importantes, como la hipótesis del continuo o el axioma de elección mismo. Puede que al final resulten ser una construcción lógica sin utilidad práctica, aunque ejemplos hay en la historia que demuestran que dichas construcciones que en su momento no eran practicas, acabaron siendo de gran utilidad. Véase como ejemplo las geometrías no euclideas. Por otro lado, que nuestra física se rija por términos finitos, no quiere decir que la realidad sea finita en última instancia. A lo mejor la finitud es una limitación nuestra más que de la realidad que pretendemos modelar. Porque claro, hablando de hechos yo le diré uno: Cada vez que se ha pretendido en un exceso de triunfalismo del método científico la busqueda de la teoría última de la realidad, dicha teoría ha caido por el propio peso de la realidad misma. Porque hablando de hechos, ¿no es un hecho acaso que nunca hemos encontrado límite alguno ni en lo grande ni en lo pequeño, y que, todo saber científico de hoy, es en el mejor de los casos un caso particular de la teoría de mañana?. No será que precisamente la realidad en sí misma es el límite al que podemos acercanos sin nunca llegar a alcanzar?. Además, cuidado, el lenguage de la física es matemático, sírvanse abrir un libro de física y lo verán lleno de integrales, derivadas, ecuaciones diferenciales, espacios vectoriales reales y complejos, funciones de onda de variable compleja, etc.... Porque claro los hechos que nosotros percibimos, los percibimos a nuestro modo, es decir, si algo que sucede "ahí afuera" no excita nuestros sentidos de forma que una cierta información llegue a nuestro cerebro y éste la conceptualice de alguna forma, difícilmente creo que pueda usted hablar de hecho alguno. ¿Podemos ver un hecho que no seamos capaces de conceptualizar? Todo el mundo ve los hechos físicos de la misma forma y los conceptualiza de la misma manera? El debate entre la realidad y los conceptos que asociamos a la misma podría ser muy amplio, y traspasar los límites de la física y la matemática llegando a introducirse incluso en la teoría del conocimiento o la psicología. Por otro lado, y ya que hablamos de teorías axiomáticas que nos permiten enfrentarnos con el infinito actual, es decir, aquel en el que nuestra intuición cae por los suelos y hace preciso el auxilio de las teorías axiomáticas, convendría tener en cuenta, que en un sentido amplio estas teorías han fracasado. Me explico.... El origen de estas teorías como usted bien sabe, era resolver uno de los problemas fundamenales que propuso Hilbert, el de poder reducir todas las matemáticas a un conjunto de axiomas y reglas de inferencia, del que se pudiera deducir sin ambigüedad alguna la veracidad o falsedad de cualquier enunciado matemático. Tal vez con el último proposito de que toda verdad matemática fuera algorítmica digamos. Bien, como también conocerá usted, Gödel demostró que dicho intento era irreliazable, en el sentido de que, todo sistema axiomático aritmético recursivo de este tipo tenía el defecto de presentar enunciados indecidibles. De hecho la cosa era peor que eso en realidad, ya que la propia consistencia del sistema era un enunciado indecidible desde dentro del propio sistema precisamente. O sea que por no tener, no teniamos siquiera prueba de consistencia. Estos hechos son bien conocidos, y de por sí ya nos indican, que no es que no podamos hacer nada, pero que en última instancia la perfección no existe. Ahora bien un hecho menos conocido es que, la teoría de conjuntos presentaba el problema de que predecía la aparición de objetos distintos al objeto primitivo de la teoría, es decir, que el conjunto de todos los conjuntos, la clase R de Russell o el conjunto de todos los ordinales o cardinales no podían ser conjuntos sino que debían ser entes de otra naturaleza. Fue por ello fundamentalmente que distintos matemáticos como Von Neumann o Gödel introdujeron el concepto de clase, de forma que las clases que pertenecían a otras clases eran conjuntos, y las que no eran lo que se denominaba clases propias. Así los conjuntos antes mencionados no eran en realidad conjuntos sino ejemplos de dichas clases propias. Sin embargo, ¿qué pasa con la clase de todas las clases, por ejemplo? Pues como ustedes pueden haber adivinado, dicha clase no es una clase, luego habíamos caído en un círculo vicioso. Y si dicha clase fuera una metaclase, pues pasaría que la metaclase de todas las metaclases no sería una metaclase sino una metametaclase y así sucesivamente. Es decir, que el problema es mucho mayor que el mero hecho de que existan varios modelos para la idea de conjunto, que no coincidan en sus propiedades, el problema mayor es que escojamos el objeto primitivo que queramos para nuestra teoría, éste es superado por la teoría misma. Casi podriamos decir que, una vez introducido el infinito, se había abierto la caja de los truenos. Así que, ojo, es muy usual confundir las matemáticas con la lógica, y decir que las matemáticas son una herramienta de la física. Las matemáticas son en realidad un lenguage que nosostros usamos para expresar la realidad física, en el que la lógica se hace menester en cuanto nuestra intuición fracasa. Pero por lo que dije antes, las matemáticas trascienden y no pueden encajonarse en sistema axiomático alguno, que no es lo mismo que decir que dichos sistemas no tengan utilidad alguna. Por otro lado, las matemáticas podrían definirse como una herramienta, sino fuera que, como dije antes, difícilmente podrá usted percibir hecho alguno, si no lo conceptualiza de alguna forma. O sea que habrá que ir con cuidado, no sea que al final, en vez de sobre hechos, estemos siempre hablando sobre conceptos. Venga les dejo que lo mediten y sigan escribiendo posts tan interesantes como los que se han podido leer hasta ahora Un saludo del ^Cuervo^
29/09/2007 20:30
Para meditar un rato...
