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Re: Para meditar un rato...
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Hola de nuevo.
No es fácil dar contestación al último post de Cuervo. En él se plantean cuestiones que no tienen tanto que ver con los fundamentos de las matemáticas como con la filosofía de las matemáticas en general, y con la aplicación de las matemáticas al mundo natural, en particular. No se puede concretar una respuesta a estas cuestiones en tan poco espacio ni en tan corto tiempo. Quisiera, no obstante, compartir con ustedes algunas de mis reflexiones.
1. Dice Cuervo: “…la teoría de conjuntos presentaba el problema de que predecía la aparición de objetos distintos al objeto primitivo de la teoría, es decir, que el conjunto de todos los conjuntos,…”
No puedo estar de acuerdo. La teoría axiomática de conjuntos, al igual que cualquier otra teoría axiomática (y me atrevería a decir y no axiomática), no puede predecir algo que está fuera de la propia teoría. Un sistema formal se construye: (i) postulando un sistema de axiomas compuesto por los axiomas del cálculo lógico que se va a utilizar y, en su caso, por los axiomas particulares que requiere la teoría (ii) estableciendo de una vez para siempre las reglas de derivación que han de permitir la obtención de nuevas fórmulas a partir de las ya obtenidas, y (iii) fijando tantos dominios de individuos como sean necesarios para determinar los ámbitos de variabilidad de los diferentes tipos de variables utilizadas en la teoría. En este sentido, los conjuntos son los entes que constituyen el dominio de variabilidad sobre el que está construido el sistema ZF, mientras que las clases son los entes que constituyen el dominio de variabilidad sobre el que está construido el sistema NBG. Nada tiene en común el primero con el segundo. El hecho de que el dominio de las clases incluya clases y conjuntos es consecuencia directa de los axiomas por los que se rige la teoría NBG; en particular, de aquel que postula que los elementos de una clase son conjuntos. Decir que la teoría (ZF) de conjuntos predecía la aparición de objetos distintos al objeto primitivo de la teoría es como decir que la geometría de Euclides predecía la aparición de rectas paralelas que no son paralelas (y estoy seguro de que Cuervo no quería decir esto).
2. Dice también Cuervo: “Sin embargo, ¿qué pasa con la clase de todas las clases, por ejemplo? Pues como ustedes pueden haber adivinado, dicha clase no es una clase, luego habíamos caído en un círculo vicioso. Y si dicha clase fuera una metaclase, pues pasaría que la metaclase de todas las metaclases no sería una metaclase sino una metametaclase y así sucesivamente.” Vayamos por partes: En el ámbito de la teoría axiomática NBG, si la clase A es elemento de la clase B, entonces A es un conjunto, en cuyo caso, la clase de todas las clases es la clase de todos los conjuntos, es decir, la clase universal. No podemos evitar que esto sea así. En otros ámbitos podemos decir lo que queramos. Incluso que la clase de todas las clases es la clase primera de los vuelos transatlánticos. Ignoro si los que viajan en esta clase constituyen un círculo vicioso. De lo que estoy seguro es que tal círculo no cabe en la teoría de conjuntos.
Con el permiso de Cuervo, reescribiré lo que entiendo que quiere decir: “Sin embargo, ¿qué pasa con los principios en los que se sostiene el razonamiento metamatemático? ¿Deberíamos establecer un sistema axiomático con el que fundamentar las metamatemáticas? ¿Tiene sentido hacer unas metametamatemáticas y así sucesivamente?”
En mi opinión –y creo que en la de la mayoría de ustedes- no tiene sentido construir unas metametamatemáticas. Al menos mientras utilicemos métodos finitistas en la esfera metamatemática. Siempre cabe, desde luego, utilizar argumentos no finitistas, pero ¿de qué sirve utilizar teorías más potentes que los propios sistemas formales con los que estamos trabajando, para demostrar propiedades referentes a estos últimos? (Y sin embargo, no sólo se puede, sino que además se hace. Así, por ejemplo, Gentzen probó en 1936 la consistencia de la aritmética clásica utilizando procedimientos de inducción transfinita sobre los ordinales menores que ε0, esto es, los ordinales menores que el límite de la sucesión ω, ω elevado a ω, ω elevado a (ω elevado a ω), etc.)
3. Agrupo, por último, algunas afirmaciones de Cuervo en las que conecta las matemáticas con su aplicación al estudio del mundo natural: Así, por ejemplo, dice Cuervo: “A lo mejor la finitud es una limitación nuestra más que de la realidad que pretendemos modelar.” Y también “Así que, ojo, es muy usual confundir las matemáticas con la lógica, y decir que las matemáticas son una herramienta de la física. Las matemáticas son en realidad un lenguaje que nosotros usamos para expresar la realidad física, en el que la lógica se hace menester en cuanto nuestra intuición fracasa.” Y: “Pero por lo que dije antes, las matemáticas trascienden y no pueden encajonarse en sistema axiomático alguno, que no es lo mismo que decir que dichos sistemas no tengan utilidad alguna. Por otro lado, las matemáticas podrían definirse como una herramienta, sino fuera que, como dije antes, difícilmente podrá usted percibir hecho alguno, si no lo conceptualiza de alguna forma. O sea que habrá que ir con cuidado, no sea que al final, en vez de sobre hechos, estemos siempre hablando sobre conceptos.”
Yo pienso que las matemáticas son una herramienta para los físicos. No quiero decir con esto que las matemáticas sólo sean eso. Al contrario, las matemáticas constituyen un cuerpo de conocimiento absolutamente independiente del hecho físico, cuya validez se constata únicamente apelando a la razón. En no pocas ocasiones, sin embargo, cuando abordamos el estudio de ciertas disciplinas, nos damos cuenta de que se reproducen en ellas estructuras semejantes a aquellas de las que tratan determinadas teorías matemáticas. Otorgamos entonces a las primeras propiedades idénticas a las que se han hallado, por aplicación exclusiva del razonamiento, en las segundas y con ello dotamos a los teoremas abstractos que proporcionan las matemáticas, de contenido y significado concreto. La física es a mi entender, un claro ejemplo de lo que digo.
Ahora bien, la física es algo esencialmente distinto a las matemáticas. En efecto, les corresponde a los físicos resolver un problema fundamental y harto complejo, a saber, la interpretación de los hechos físicos y la formulación de modelos conceptuales capaces de reproducir las estructuras de tales hechos. Podrá entonces el físico establecer leyes y, basándose en ellas, predecir resultados experimentales aún antes de que se produzca la observación. Y desde luego que este problema es complejo, aunque sólo sea porque todas las leyes físicas y los conceptos en las que se apoyan, son resultado de la inducción y, en consecuencia, susceptibles de revisión e, incluso, de rechazo. Y por eso creo que no hay una solución última, sino que más bien es un proceso sin fin: según se avanza aparecen nuevas y nuevas lagunas en los modelos que se van creando. Pero esta misma formulación del quehacer del físico está plagada de innumerables problemas filosóficos. Así, por ejemplo, ¿cómo se relaciona la observación y la existencia física? ¿Es necesario que algo sea observable para que exista o, contrariamente, es necesario que algo exista para que se pueda observar? La observación actual ¿es necesaria para la existencia física? Si algo existe, ¿entonces es observado? ¿Hay hechos objetivos? ¿Cuál es nuestra (su) ontología? ¿Qué es lo primero por lo que respecta al conocimiento? ¿Qué es el espacio? ¿Y el tiempo?
25/10/2007 18:29
Re: Para meditar un rato...
