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Quiero escribir este post como aclaratorio en torno a la cuestión suscitada a raíz del no-polémico asunto de que "dos cosas iguales a una tercera son iguales".
Antes de nada, aclaro que soy matemático, y que por lo tanto no hablo como aficionado, ni doy opiniones. Simplemente expongo lo que *es*, y no lo que creo que es.
Primero: que yo sepa, nadie ha definido todavía operaciones con álef0. Por tanto, sumar los cardinales de los así llamados NI, NP o N tiene tanto sentido como elevar botijos al cuadrado o multiplicar alegrías por cebollas - a saber, ninguno.
Segundo: si implícitamente se ha querido definir dicha suma de este modo: #A+#B=#(A u B) si A y B son disjuntos -al menos eso he creído entender- resulta que cuando A y B son infinitos no podemos esperar que cumplan las mismas propiedades que los números naturales. Por la sencilla razón de que *no son* números naturales.
Tercero: A consecuencia de lo anterior, y usando la definción dada antes de suma de cardinales, tenemos que #NI+#NP=#N, lo cual no tiene nada de contradictorio ni de absurdo. Como mucho, no es intuitivo.
Cuarto: en lógica existe la llamada ley de sustitución, que dice que si tenemos los enunciados:
P(a)
a=b
Entonces podemos deducir
P(b)
Esta ley es válida en cualquier lenguaje formal de los hasta ahora ideados por el hombre (entendiendo = como comparación, no como asignación).
Y de esta ley se deduce fácilmente que si
x=z
y=z
entonces
x=y
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30/08/2006 18:12
Cardinales y conjuntos
