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Abogado, parlamentario y luego miembro del consejo local de Toulouse, se conoce que a don Pierre Fermat (1601-1665) el parlamentarismo, la abogacía y demás insignes chorradas semejantes le aburrían lo indecible. Aprovechando entonces la feliz circunstancia de que todavía no se había impuesto la pía costumbre del rezo del rosario en familia, de que aún estaban por inventar las apasionantes semifinales futbolísticas, y de que ni siquiera se habían puesto en moda por aquellas fechas los entretenidísimos cotilleos de braga y bragueta televisivos acerca de la Pantoja y sus diversos compañeros sentimentales, don Pierre dedicaba la mayor parte del tiempo libre a su auténtico hobby: los números. Zascandileando, pues, incansablemente con tales entidades abstractas, un día el buen hombre conjeturó (y, según él, al día siguiente probó) que:
Si p es primo y a es un número natural tal que p no divide a a, entonces se verifica que a^(p-1) = 1 (mód p)
Demostración
(Ante todo digamos que, si c es primo, será a*b = 0 (mód c) únicamente si a = 0 o bien b = 0 (mód c). Esta es un regla equivalente a la del álgebra ordinaria según la cual a*b = 0 únicamente si es a = 0 o bien b = 0.)
Consideremos ahora los sucesivos múltiplos de la a del teorema:
m1 = a, m2 = 2*a, m3 = 3*a, …, m(p-1) = (p-1)*a (los números de las ‘m’ son simples subíndices)
Ninguna pareja de estos números puede estar formada por valores congruentes módulo p. Pues, si fuesen congruentes, p sería factor de mr-ms = (r-s)*a para algún par r, s, siendo s<r, con s mayor o igual que 1 y con r menor o igual que (p-1). Ahora bien, según la regla enunciada más arriba, esto es algo que no puede ocurrir: puesto que (r-s)<p, este p no puede ser factor de (r-s), y habíamos supuesto además que p no dividía a a. Así mismo, ninguno de aquellos múltiplos puede ser congruente con 0. En consecuencia, m1, m2, m3, …, m(p-1) deben ser congruentes con los números 1, 2, 3, …, (p-1) tomados en el orden adecuado.
Por lo tanto,
m1*m2*… *m*(p-1) = 1*2*3*…*(p-1)*a^(p-1), y a su vez
1*2*3*…*(p-1)*a^(p-1) = 1*2*3*…*(p-1) (mód p)
Si, para abreviar, llamamos K al producto 1*2*3*…*(p-1), entonces
K*[a^(p-1)-1] = 0 (mód p)
Ahora bien, K no es divisible por p, puesto que no lo es ninguno de sus factores, de modo que, por la regla anteriormente enunciada, el factor divisible por p es [a^(p-1)–1]. Resulta entonces que
a^(p-1)–1 = 0 (mód p). QED.
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8/10/2006 20:15
Congruencias, III. Divisibilidad
