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Pues no me quería meter en este enredo, pero mirandolo, algo sí quiero decir. Dejaré la divisibilidad entre 3, 5 y 9 para aquellos animosos lectores de tu post que quieran enfrentarla.
Pero algo diré sobre la divisibilidad por 7 y 13, que son los casos "duros" que planteas (a la vista que nadie se ha animado a decir nada al respecto).
Veamos, empecemos por el 7. Como hacías tú consideremos un entero positivo en la forma a0+a1*10+a2*10^2+.....+an*10^n.
Como 10=3 (mod 7), tendremos que: a0+a1*10+a2*10^2+.....+an*10^n=a0+a1*3+a2*3^2+......+an*3^n (mod 7)
Ahora bién veamos lo siguiente:
3^0=1 (mod 7)
3^1=3 (mod 7)
3^2=9=2 (mod 7)
3^3=27=6 (mod 7)
3^4=81=4 (mod 7)
3^5=243=5 (mod 7)
3^6=1 (mod 7) (Por el pequeño teorema de Fermat precisamente)
3^7=3*3^6=3 (mod 7)
3^8=3^2*3^6=9=2 (mod 7)
etc...
Es decir, para las diferentes potencias de 3, se va repitiendo la serie 1,3,2,6,4,5 cuando trabajamos en modulo 7.Así llegamos a la conclusión de que :
a0+a1*10+a2*10^2+.....+an*10^n=a0+3*a1+2*a2+6*a3+4*a4+5*a5+a6+3*a7+2*a8+....... (mod 7)
Ejemplo :
691355 és divisible por 7 ya que 5+3*5+2*3+6*1+4*9+5*6=98=7*14 también lo és.
Ese es el criterio de divisibilidad por 7 que yo he encontrado. Que no se si soluciona el problema o lo complica :)
Para el número 13 la cosa es similar.
Tenemos que :
10^0=1 (mod 13)
10^1=10 (mod 13)
10^2=9 (mod 13)
10^3=12 (mod 13)
10^4=3 (mod 13)
10^5=4 (mod 13)
10^6=1 (mod 13)
10^7=10^6*10=10 (mod 13)
etc....
Es decir, para las diferentes potencias de 10, sus restos modulo 13 siguen la serie 1,10,9,12,3,4. Por lo tanto :
a0+a1*10+a2*10^2+.....+an*10^n=a0+10*a1+9*a2+12*a3+3*a4+4*a5+a6+10*a7+9*a8+....... (mod 13)
Ejemplo :
El número 12839502 és divisible por 13 ya que 2+10*0+9*5+12*9+3*3+4*8+2+10*1=208=13*16 también lo és.
Pero como antes, el criterio de divisibilidad es lo suficientemente complicado, como para decidir que alomejor, mejor hacemos la división y acabamos antes :)
Ya me dirás si tienes algo mejor al respecto
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8/10/2006 20:20
Criterios de divisibilidad para el 7 y el 13
