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Entiéndase, nota bene, que uso este término, ‘descomposición’, no en su significado orgánico o fisiológico, sino en su bastante más agradable y menos apestosa acepción matemática o numérica.
Se define aquí la descomposición en sumandos de un número natural n como la representación de n por la suma de otros números naturales. Leonhard Euler consideró la descomposición de un número cualquiera en otros números diferentes, en cuyo caso, y tomando por ejemplo el número 6, tendríamos cuatro y solo cuatro posibilidades:
6, 5 + 1, 4 + 2, 3 + 2 + 1.
De manera análoga, el matemático suizo analizó las descomposiciones en números impares no necesariamente distintos, que, para el mismo ejemplo del 6, producen igualmente solo cuatro casos:
5 + 1, 3 + 3, 3 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1.
Si, aparte del 6, tomamos otros números naturales cualesquiera, podremos comprobar que una y otra vez se cumple este curioso hecho: que hay tantas formas de descomponer esos números en sumandos diferentes como las hay de descomponerlos en sumandos impares no necesariamente diferentes. Que tal cosa ocurre siempr lo demostró Euler de una manera muy sorprendente y con su proverbial elegancia. Empezó escribiendo:
«Si se desarrolla el producto Q = (1 + x)(1 + x^2)(1 + x^3)(1 + x^4)(1 + x^5)(1 + x^6)… , se tiene la serie
1 + x + x^2 + 2x^3 + 2x^4 + 3x^5 + 4x^6 + 5x^7 + …,
en la que cada coeficiente indica la cantidad de formas diferentes en que el correspondiente exponente puede expresarse como suma de distintos números.»
Por ejemplo, 2x^4 quiere decir que el 4 puede escribirse de 2 formas distintas, a saber: como 4 y como 3 + 1. Tomando otro término, 4x^6 significa que el 6 puede escribirse de 4 formas diferentes, según hemos visto ya antes. Y así sucesivamente.
Como es natural, eso no es una casualidad, sino que se explica por el modo como se forman los términos de la serie anterior a partir del producto dado. Consideremos, p. ej., el coeficiente 4 correspondiente a x^6. ¿Por qué salen cuatro y solo cuatro potencias sextas de x? Es evidente que las sextas potencias de x sólo pueden proceder del producto de los seis primeros factores de Q:
(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^3)(1 + x^4)(1 + x^5)(1 + x^6)
Un primer x^6 saldrá al multiplicar el x^6 del último paréntesis por las unidades. Otro x^6 resultará de multiplicar x^5 por x, o sea x^(5 + 1). El tercer x^6 se obtiene como producto de x^4 por x^2, es decir, x^(4 + 2). Por fin, el cuarto y último x^6 procede de multiplicar x^3 por x^2 por x, o sea, x^(3 + 2 + 1). Así pues, x^6 se da en cuatro ocasiones debido a que 6 tiene cuatro descomposiciones en sumandos distintos: 6, 5 + 1, 4 + 2 y 3 + 2 + 1.
Pero tomémonos aquí un pequeño descanso.
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22/03/2007 15:05
Descomposiciones eulerianas, I
