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Resuelto el caso de los sumandos cualesquiera diferentes entre sí, para abordar el de los impares no necesariamente diferentes Euler introdujo el inverso de un producto infinito:
R = 1/(1 – x)(1 – x^3)(1 – x^5)(1 – x^7)… =
= [1/(1 – x)][1/(1 – x^3)][1/(1 – x^5)]…
Teniendo en cuenta que
1/(1 – a) = 1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + …
y sustituyendo sucesivamente la ‘a’ por x, x^3, x^5…, resulta que
R = (1 + x + x^2 + x^3 + …)(1 + x^3 + x^6 + x^9 + …). (1 + x^5 + x^10 + …)(1 + x^7 + x^14 + …)…, (*)
la cual, si bien se mira, es una expresión típicamente euleriana: ¡un producto infinito de series infinitas con los exponentes impares y sus múltiplos! Multiplicando y agrupando términos, resulta
R = 1 + x + x^2 + 2x^3 + 2x^4 + 3x^5 + 4x^6 + 5x^7 + …,
Es decir, que en estos primeros términos ¡tenemos exactamente la misma serie que en Q! Sin embargo, ahora el significado de los coeficientes es distinto. Así, por ejemplo, 3x^5 significa que el 5 admite tres y solo tres descomposiciones en sumandos impares no necesariamente diferentes, a saber:
5, 3 + 1 + 1 y 1 + 1 + 1 + 1 + 1,
que es lo que nos indica en la expresión (*) de R el hecho de que esas tres potencias quintas procedan de multiplicar x^5 por las unidades; (x^3)*x*x, y x*x*x*x*x.
En resumen, Euler descubrió que
1) el número de formas distintas de escribir n como suma de números distintos es el coeficiente de x^n en el desarrollo de
Q = (1 + x)(1 + x^2)(1 + x^3)(1 + x^4)(1 + x^5)…, (**)
y 2) el número de formas distintas de escribir n como suma de números impares no necesariamente diferentes es el coeficiente de x^n en el desarrollo de
R = 1/(1 – x)(1 – x^3)(1 – x^5)(1 – x^7)…
Establecido lo cual, el gran matemático enunció el siguiente teorema:
El número de formas diferentes en que un número dado puede expresarse como suma de números naturales distintos es el mismo que el número de formas en que tal número puede expresarse como suma de impares, sean estos iguales o distintos entre sí.
En efecto, sustituyendo los + por − en (**), tenemos
P = (1 – x)(1 – x^2)(1 – x^3)(1 – x^4)…, con lo que
PQ = (1 – x^2)(1 – x^4)(1 – x^6)(1 – x^8)…,
1/Q = P/PQ = (1 - x)(1 – x^3)(1 – x^5)(1 – x^7)…
Q = 1/(1 – x)(1 – x^3)(1 – x^5)(1 – x^7)… = R,
QED.
Una demostración sencillamente genial. Es decir, genial en inesperada su sencillez.
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26/03/2007 16:26
Descomposiciones eulerianas, y II
