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Quería contar una "paradoja" que espero alumbre a los neófitos con el tema de los cardinales infinitos, en concreto con el ejemplo que cita Lemuel de #N=#NP=#NI.
El acertijo se llama "El hotel del infinito". En este hotel hay un número infinito de habitaciones, numeradas como 1, 2, 3, 4,... es decir, las habitaciones se identifican con los números naturales y el hotel con N.
Resulta que nuestro hotel del infinito está al completo, totalmente lleno, y llega un nuevo huésped pidiendo una habitación. El conserje ni corto ni perezoso le dice que no hay problema. ¿Cómo lo acomoda el conserje?
(Espero de los foristas la respuesta a este acertijo)
A continuación llegan de otro hotel del infinito que han debido desalojar ni más ni menos que infinitos huéspedes; pero ni corto ni perezoso el conserje repite que no hay problema. ¿Cómo lo consiguió el conserje?
Doy por hecho que algún forista resolverá las cuestiones. De estas cuestiones qué deducimos? Pues el tema de la discordia:
#N=#N+1=#N+#NI
como ya vemos, la aritmética cardinal es algo diferente de la usual, pero siempre hay que pensar que la aritmética usual es un CASO PARTICULAR de la aritmética infinita, y que la transitividad es algo que por supuesto aquí también se cumple.
De hecho, algo que todavía no se ha comentado es que para demostrar que la transitividad no se cumple habría que encontrar un contraejemplo y eso es algo que no se ha hecho, sólo aparecen igualdades y para contradecir la transitividad se deberían nombrar dos conjuntos diferentes o dos cardinales diferentes.
Cierto es que la aritmética infinita pueda parecer poco intuitiva, pues de hecho (y por suerte) todavía no he visto "hoteles del infinito", pero todavía no es algo que escape a la lógica formal.
Algún día hablaremos de lógica difusa....
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30/08/2006 16:26
El hotel del infinito
