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Si el entrevistador hace al entrevistado una pregunta como la tuya ("¿qué son épsilon y delta?"), el entrevistado está obligado a exclamar: ¡Hombre, me alegro de que me haga usted esta pregunta!
¿Qué son, qué valores tienen ε y δ?
Respuesta. Son: números. Valen: cualesquiera valores numéricos positivos.
Sin embargo, esto segundo hay que matizarlo, puesto que, según se desprende de la definición de límite, δ depende o es función de ε. Reproduzco de nuevo esa definición:
La función f(x) tiende hacia el límite L en p cuando, para todo ε>0, existe algún δ>0 tal que, para todo x que cumple 0<|x-p|<δ, es |f(x)-L|<ε.
Dice ahí: “Para todo ε>0, existe algún δ>0…”
Eso significa que uno debe empezar eligiendo un épsilon positivo cualquiera y luego hay que ver qué delta positivo cumple con las condiciones de la definición.
Ejemplo.
Demostremos que, cuando x-->2, lím (2x-1) = 3.
Intuitivamente la cosa parece muy clara pues, haciendo x = 2, resulta 2*2-1 = 3. Sin embargo: 1)esto, que en la práctica se hace constantemente, es una pequeña barbaridad matemática, y 2) se cumple cuando se trata de funciones sencillas como 2x-1, pero no suele funcionar cuando las funciones son más complicadas, en cuyo caso hay que seguir literalmente la definición de límite.
Atengámonos también aquí a esa definición para intentar demostrar el enunciado propuesto.
Sea un ε>0 cualquiera y hallemos el correspondiente δ>0. Según la definición, tal valor ha de verificar que, si
0<|x-2|<δ, entonces |(2x-1)-3|<ε.
Intentemos relacionar |(2x-1)-3| con |x-2|. En este caso no hay ninguna dificultad:
|(2x-1)-3| = |2x-4| = 2|x-2| (*)
Por tanto, para que |(2x-1)-3| sea menor que ε, solo se requiere que |x-2| sea dos veces menor, es decir, que δ = ε/2.
Comprobémoslo: si 0<|x-2|<ε/2, entonces 2|x-2|<ε. Por tanto, según (*), sería también |(2x-1)-3|<ε.
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25/10/2006 16:59
épsilon/delta
