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Hola a todos.
1. Cuervo nos dice que la teoría de conjuntos debe servir para que a partir de sus axiomas y de las reglas de inferencia del sistema, podamos demostrar la mayor cantidad de propiedades ya contrastadas en la realidad física. Pero acto seguido nos habla, no sólo de los conjuntos infinitos, sino de los transfinitos. Ahora bien, nada hay en el mundo real (o físico, o empírico), que pueda decirse infinito. Sólo en matemáticas tiene sentido hablar de lo infinito.
2. Cuando hablamos del infinito, no siempre lo hacemos de la misma manera.
Por ejemplo, podemos decir que hay infinitos números primos, en cuyo caso, lo que estamos diciendo es que para cualquier natural n, por grande que éste sea, podemos encontrar un natural p tal que p es primo y p > n.
También podemos decir que el conjunto de todos los naturales y el conjunto de todos los primos tienen el mismo cardinal, en cuyo caso lo que estamos haciendo es comparar el tamaño de un conjunto con el del otro.
En el primer caso hablamos de un infinito potencial (en el sentido aristotélico). En el segundo caso hablamos de un infinito actual (en el sentido platónico o, si se prefiere, cantoriano).
Esta distinción es importante, porque del segundo tipo de infinito no tenemos una noción intuitiva y trabajar con él sin la debida cautela puede conducirnos a contradicciones que nos lleven a la locura.
3. Es por este motivo por el que se hace necesario axiomatizar la teoría de conjuntos.
Ahora bien, esto tiene dos consecuencias. La primera, que la idea de “conjunto” ya no puede sustentarse en noción intuitiva alguna. Un conjunto es de lo que se habla en la teoría de conjuntos, al igual que un “canguingo” es de lo que se habla en la teoría de los canguingos si es que existe tal teoría.
La segunda es resultado del teorema de completitud. Admitiendo que la teoría de conjuntos es consistente, tal teorema nos asegura que hay al menos una interpretación del concepto “conjunto”, pero en tal caso, hay también infinitas interpretaciones distintas. Significa esto que la teoría admite infinitos modelos distintos tales que para cada par de ellos hay una sentencia que es verdadera en el primero y falsa en el segundo.
4. Axiomatizar una teoría significa postular la existencia de una totalidad de entidades, es decir, un dominio de individuos, y admitir como hipótesis que tal totalidad de individuos tiene una estructura determinada, a saber, la que resulta de las relaciones gobernadas por una serie de axiomas preestablecidos.
5. La primera teoría axiomática de conjuntos se debe a Zermelo (1908). En ella, Zermelo postula la existencia de un dominio, B, de objetos abstractos (a los que él llama cosas, Dinge), para el que está definida la relación primitiva de pertenencia. Si para dos objetos cualesquiera del dominio, a y b, es a€b, se dirá de a que es un elemento del conjunto (Menge) b. De este modo, en el dominio B hay algunas cosas, pero no necesariamente todas ellas, que son conjuntos. Las leyes por las que se rige el sistema se concretan en siete axiomas: (I) axioma de determinación, (II) axioma de los conjuntos elementales, (III) axioma de separación, (IV) axioma del conjunto potencia, (V) axioma de la unión, (VI) axioma de elección, y (VII) axioma del infinito.
6. Destaco aquí el axioma de separación, que dice que si el predicado F(x) está determinado para todos los elementos del conjunto M, entonces M tiene un subconjunto MF que tiene como elementos suyos todos aquellos elementos x de M para los que F(x) es verdadero, y solamente a ellos.
El concepto “estar determinado” (definit) es un concepto básico de la teoría de Zermelo. Se dice que un aserto está determinado si se puede determinar sin ambigüedad su validez o invalidez utilizando tan sólo las relaciones básicas del dominio por medio de los axiomas y las leyes de la lógica. De igual modo, un predicado de la variable x, donde x recorre todos los individuos de una clase dada, está determinado si lo está para todos los individuos x, considerados por separado, de dicha clase.
Mediante este concepto y el axioma de separación, Zermelo corrige el principio de comprehensión que se deriva de la teoría cantoriana de conjuntos, esto es, el principio que asegura que toda propiedad da lugar a un conjunto. En efecto, el axioma de separación lo que nos dice es que cualquier propiedad que esté determinada separa de un conjunto M, que debe estar dado de antemano, un subconjunto, y no permite, en absoluto, la construcción de conjuntos paradójicos cuyos elementos se definan en términos de los conjuntos mismos.
7. Aunque suficiente para los objetivos que persigue cualquier teoría de conjuntos, la teoría de Zermelo, por su carácter conservador, resulta débil en algunos aspectos. En particular, no sirve para asegurar la existencia de conjuntos demasiado grandes. Por ejemplo, el axioma del infinito asegura la existencia en B del conjunto Z que tiene por elementos el 0, el {0}, el {{0}},… (denoto con 0 al conjunto vacío, cuya existencia está garantizada a su vez, por el axioma II). Aplicando el axioma del conjunto potencia se puede construir entonces el conjunto de las partes de Z, P(Z), y a partir de éste, el conjunto de las partes de las partes de Z, P(P(Z)), y así sucesivamente. Sin embargo nada hay en la Teoría que nos permita construir el conjunto unión de todos estos conjuntos.
Fue Fraenkel (1922), quien corrigió esta situación proponiendo la introducción de un nuevo axioma en el sistema, al que llamó axioma de reemplazo. Este axioma viene a decir que si M es un conjunto, entonces el resultado de reemplazar los elementos de M por cualquier individuo del dominio B, es un nuevo conjunto.
Más aún, siguiendo una sugerencia de Skolem (1922), Fraenkel (1925) revisó el concepto de “estar determinado”, modificando consecuentemente el axioma de separación. A partir de entonces ya no era necesario contar con un dominio B de individuos en el que algunas cosas eran conjuntos y otras no, y bastó con considerar un dominio más sencillo, en el que todos sus componentes eran conjuntos.
8. Al sistema axiomático creado por Zermelo y posteriormente revisado por Fraenkel se le conoce como sistema ZF.
9. La forma en que el sistema ZF se protege de las contradicciones consiste en su propio conservadurismo. Utilizando palabras de J. Mosterín (1971), “el sistema de Zermelo viene a decir que todo lo que no está expresamente permitido está prohibido”. En efecto, para evitar contradicciones el sistema ZF limita los métodos que pueden emplearse para la construcción de conjuntos ciñéndose a aquellos que se consideran indispensables para fines matemáticos. De este modo, se excluyen de la teoría las totalidades que pueden biyectarse con el universo completo de los conjuntos.
Esta restricción resulta a veces incómoda, y frente a ella adopta von Neumann una posición crítica que le conduce a revisar el sistema axiomático de Zermelo-Fraenkel (1925, 1928). Propone entonces un nuevo sistema axiomático en el que, respetando los principios del sistema ZF, se da entrada a un nuevo tipo de entidades a las que, a diferencia de los conjuntos, no se les permite ser elementos de conjunto alguno. De esta manera, von Neumann preserva su teoría de contradicciones internas.
10. von Neumann presenta su teoría de conjuntos de una forma que se aleja de la habitualmente utilizada hasta entonces. En efecto, en lugar de hablar de un dominio de conjuntos, habla de un dominio de argumentos (I.Ding) y de un dominio de funciones (II.Ding), que se solapan en un dominio de argumento-funciones (I.II.Ding); postula la existencia de dos argumentos constantes A y B e identifica a los conjuntos con el dominio de determinadas funciones que además no resultan ser meras funciones, sino argumento-funciones. Esta forma de trabajar resulta, desde luego, un tanto artificial.
(sigue)
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29/09/2007 15:29
Fundamentos de la matemática I
