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Bién, respondiendo a tu post, intentaré en unas breves lineas, decir algo que pueda ser de interés para los no iniciados en la teoría de ordinales, sobre los mismos. Sin embargo, protesto ante la idea de que me dejes solo en tan duro empeño, por lo que te sugiero que le quites el polvo a tus apuntes, y me heches una mano en futuros añadidos del post. Al fín y al cabo el matemático eres tú.
Veamos, yo me voy a centrar en lo que podriamos denominar, los ordinales de Von Newman, que son los que conozco mejor. La cosa empezó cuando se pretendía construir los números naturales a partir de la axiomática de conjuntos. Había que definir lo que era un número natural a partir de ella. Como hacerlo?. La primera idea era considerar clases de equivalencia entre conjuntos, es decir, dos conjuntos finitos tenían como ordinal ( o como cardinal si se prefiere, ya que en este caso ambos conceptos coinciden) el mismo número natural, sí y solamente sí, existía alguna aplicación biyectiva entre ellos. Sin embargo esta representación de los números naturales tenía un problema, y es que, estás relaciones de equivalencia se hallaba dentro del conjunto de todos los conjuntos, que precisamente resultó no ser un conjunto sinó una clase propia. Luego se tenía que ir por otro camino.
Von Newman tuvo la siguiente idea, porqué en vez de tomar las clases de equivalencia que deciamos, no se tomaba un representante canónico de cada una ellas?. De esta forma, un conjunto tenía como ordinal a un cierto número natural, sí y solamente sí, podía biyectarse con su representante canónico.
Otra idea fundamental a la hora de definir los naturales, era que debía hacerse, de forma que pudieramos establecer una relación de orden entre ellos de forma que se adaptara a su ordenación usual. Pero si cada número natural tenía como representante a un conjunto, como debiamos hacerlo para establecer una relación de orden entre conjuntos?. De hecho había dos formas, que al final resultaron ser idénticas como podreis comprobar. La idea fundamental que subyace en ambas, es el antiguo principio de que el todo es mayor que las partes, de esta forma podemos decir que dados dos conjuntos A y B decimos que A<B, sí y solamente sí, A está incluido en B o A€B. Ambas formas, al final resultarán ser la misma, como podreis comprobar.
Parecerá mentira, pero con solo estás dos premisas, los números naturales quedaban inequivocamente definidos sin ambigüedad alguna. Porqué?. Veamos, en primer lugar, y debido a la unicidad del conjunto vacío, este era el único conjunto que podía ser el representante del número natural 0. Osea que a partir de ahora 0=vacío. Muy bién, y que pasa con el 1?. El 1 por lo dicho anteriormente, debía ser un conjunto con un solo elemento y que tenía por elemento al 0 ya que este era menor que él. Luego 1={0}. Y el 2?. El 2 debía ser un conjunto con dos elementos y que tenía por elementos al 0 y al 1, entonces 2={0,{0}}. Y así sucesivamente.
Es decir, así un número natural, era un conjunto que tenía por elementos a todos aquellos números naturales menores que él, con lo que dicho conjunto tenía el número de elementos que pediamos, y se podía establecer la relación de orden usual, mediente la relación primitiva de pertenencia.
Una forma más formal de definir los naturales, sería la siguiente. La axiomática de conjuntos nos garantiza que dados 2 conjuntos cualesquiera A y B existe el conjunto {A,B}, sean o no iguales ambos conjuntos. Ello quiere decir que dado un conjunto A exisitirá el conjunto {A,A}={A} y como existen este conjunto y A entonces también existe el conjunto {A,{A}}. Por otro lado, el axioma de la gran unión nos dice que para cualquier conjunto A, existe el conjunto U A, cuyos elementos son los elementos, de los elementos de A. Por lo tanto si existe {A,{A}}, existirá también U {A,{A}}. Dicho conjunto tendrá por elementos a todos los elementos de A y al propio A. Pues bién dado un conjunto A, definimos el conjunto sucesor de A , y lo representaremos por S(A), como el conjunto U {A,{A}}.
Notar que dicha idea aplicada a un número natural nos lleva al siguiente número natural, ya que todo número natural n tiene por elementos a los naturales menores que él, y si a estos le añadimos n, entonces el nuevo conjunto será el natural n+1.
Dicho de otra forma 0=Vacío, 1=S(0)={0}, 2=S(1)=S(S(0))={0,{0}}, y así sucesivamente.
Bién, ya tenemos los números naturales. La demostración de que existe un conjunto N que tiene por elementos a todos los naturales y solo a ellos, no puede hacerse sin suponer, que existe un conjunto que tiene infinitos elementos, y es por ello que la axiomática de conjuntos, incorpora precisamente este curioso axioma.
Hecha esta acalaración, veamos una curiosa propiedad de los conjuntos que hemos construido para crear los números naturales. Sí n es el conjunto representante de un número natural cualesquiera se cumple que para cualquier conjunto x, si x€n entonces x está incluido en n. Y además, como cualquiera de sus elementos, es a su vez un número natural, sus elementos también cumplen la misma propiedad, al igual que los elementos de sus elementos etc....
La pregunta és, son los números naturales los únicos conjuntos con dicha propiedad? La respuesta es no, ya que el propio N también la cumple. Es más, si determinado conjunto A la cumple, entonces S(A) también, por lo que S(N) o S(S(N)) son conjuntos que también han de cumplir la propiedad mencionada.
Porqué es importante el que se cumpla esta propiedad?. Porque todo conjunto que la cumple, puede bién ordenarse con la relación de orden establecida mediante la pertenencia o la inclusión. Con lo que podriamos decir, que todo buén orden tiene asociado un conjunto de este tipo, y que los representantes de los buenos ordenes no son en exlusiva los números naturales, sinó otra clase de números que ahora definiremos con rigor, y que son los ordinales.
Para definir un ordinal lo haremos en dos etapas. En primer lugar, diremos que un conjunto cualesquiera T es transitivo si todo elemento de T, está incluido en T.
Un conjunto O diremos que es un ordinal, sí y solamente sí, es transitivo, y todos sus elementos también lo son.
La primera pregunta és, todo conjunto es un ordinal?. Claramente no, por ejemplo, si tenemos los conjuntos A y B existirán los conjuntos {A} y {A,B} y por lo tanto el conjunto {{A},{A,B}} (el par ordenado de A y B precisamente), que obviamente no cumple nuestra definición.
Hay propiedades realmente importantes sobre ordinales, algunas fáciles de ver y demostrar, y otras más difíciles de hacer, pero que se derivan todas ellas de la definición de ordinal misma.
El conjunto vacío es un ordinal.
Si O es un ordinal, entonces S(O) también lo és.
N es un ordinal.
Si O es un ordinal, todos sus elementos también son ordinales.
El conjunto de todos los ordinales no es un conjunto, es una clase propia.
Dados dos ordinales cualesquiera A y B se cumple que o bién A€B o bién A=B o bién B€A, pero no más de una a la vez. Esta propiedad es importantísima, ya que nos permite establecer una relación de orden total dentro de un conjunto que sea un ordinal.
La gran intersección de un conjunto de ordinales és un ordinal, es más, és el elemento mínimo de dicho conjunto. (La gran intersección de A se define como aquel conjunto I tal que para cualquier x, x€I, sí y solamente sí x€ U A y para cualquier y sí y€A entonces x€A, conjunto cuya existencia nos garantizan el axioma de la gran unión y el de especificación)
Sí C es un conjunto de ordinales, U C es un ordinal, siendo además el supremo de C si C es subconjunto de algún ordinal.
Así podriamos citar algunas propiedades más. De todas formas por las ya citadas, se puede intuir lo que antes afirmabamos, en el sentido de que todo buén orden tiene asociado algún ordinal, de ahí la importancia de los ordinales precisamente.
Es este hecho, el que nos permite afirmar si aceptamos el axioma de elección, que todo conjunto puede bién ordenarse y tiene un ordinal asociado precisamente.
Para términar esta introduccción a los fundamentos sobre los ordinales, que por hoy ya es bastante, solo quiero que se fijen en un hecho. Hemos dicho que todo ordinal tiene un sucesor que es a su vez un ordinal. Pero la inversa no es cierta, no todo ordinal es sucesor de otro ordinal. Por ejemplo el vacío o N no son sucesores de ordinal alguno. Los ordinales de esta clase, se denominan ordinales límite. Puede demostrarse que todo ordinal pertenece a una de las dos clases, es decir o es un ordinal sucesor, o es un ordinal límite.
Cuando aplicamos inducción a los ordinales para demostrar alguna propiedad que sea común a todos ellos, aplicamos lo que se conoce como principio de inducción transfinita, en la que se exigen dos cosas. La primera que si un ordinal cumple la propiedad pueda demostrarse que su sucesor también la cumple. Y la segunda que todo ordinal límite la cumple.
Bién, finalizada la aclaración, me despido por hoy, eso sí, rogando a Lemuel, que aporte su granito de arena, sobretodo en la definición de la aritmética ordinal, en la que no estoy tan desenvuelto como en el tema de la relación de orden entre ordinales.
Un saludo a todos, y aver si alguien más se anima a escribir!!
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17/09/2006 21:11
Fundamentos de la teoría de ordinales
