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Comentábamos en el anterior post el gran revés que significó para Hilbert y otros matemáticos el teorema de incompletitud; de hecho los teoremas de Gödel han sido difícilmente asimilables por buena parte del mundillo matemático durante todo el siglo pasado. Este teorema resulta un desconocido para el gran público y lo que es peor, malinterpretado. Y es que su enunciado no es simple y mucho menos difícil de digerir su significado, no por la complejidad sino por lo sorprendente
El teorema de Gödel demuestra que un sistema formal, suficientemente complejo para poder describir la teoría de números, no puede ser completo. Por tanto la teoría de números no puede ser formulada en un sistema axiomático donde toda proposición sea demostrable.
La teoría de números tiene, entonces, una limitación fundamental. Pero la teoría de números está en el fundamento de todas las matemáticas —o casi. Así que las matemáticas no pueden formularse como un sistema axiomático completo. Hay lugar para verdades matemáticas indemostrables. Esto es una bomba demoledora.
De las matemáticas se espera que lo demostrable sea cierto y lo que es cierto se pueda probar, cosa que en el día a día no sucede, sobre todo con la política y la religión. ¿Significa esto que debemos bajar a las matemáticas de su púlpito de predicadora de verdades absolutas?
En un principio las reacciones ante los teoremas fueron de estupor y decepción pero hoy en día el sentimiento es de libertad ante un horizonte matemático que es un misterio en sus orígenes. El método axiomático se hace insuficiente para desvelar estos misterios y los matemáticos debemos afrontar con modestia desacostumbrada los nuevos retos. Es una perspectiva hermosa: La esencia de las matemáticas no radica en un frío método. Gödel nos libró de la tarea engorrosa de reducir las matemáticas a un mero ejercicio maquinal de deducción.
Tanto filósofos como físicos han intentado apropiarse de este teorema para sus propios fines. El físico teórico Stephen Hawking ha declarado hace poco que ha perdido la esperanza de que exista una teoría unificada de la física, al parecer inspirado en los teoremas de Gödel, los cuales ha tardado mucho en apreciar dicho sea de paso.
Ante el teorema de Gödel nos sentimos pequeños, ante su contundencia indubitable sólo nos queda la humildad, y paradójicamente, nadie sabe realmente qué significa. Esto es un signo más de su grandeza.
Imagen:
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4/10/2006 18:42
Gödel (parte III)
