 |
Anda, como que me iva yo a ir a dormir sin liarla!
Veamos, tras la clarificadora introducción de Lemuel, vengo yo con lo formalito que soy, a liar las cosas.
Emepecemos pues. Sea a un entero cualquiera, y sea n un entero positivo. Como sabeis, el algoritmo de la división entera nos permite afirmar que existen dos enteros c y r únicos con 0=<r<n, tales que a=n*c+r. Al número c lo llamamos cociente de la división y a r resto.
Pues bién, se dice que dos números enteros s y t, son congruentes modulo n, sí y solamente sí, al dividirlos por n obtenemos el mismo resto. Así s=t (mod n), sí y solamente sí,
s=n*c+r y t=n*c´+r.
Esta definición, es equivalente a decir que, dos números enteros s y t son congruentes modulo n , sí y solo sí, n es un divisor de t-s, como dice Lemuel.
Veamos ahora un importante hecho. La relación de congruencia, es una relación de equivalencia en el conjunto de los enteros, ya que :
Sean a, b y c tres enteros cualesquiera.
1.- a=a (mod n) (Propiedad reflexiva)
2.- Si a=b (mod n) entonces b=a (mod n) (Propiedad simétrica)
3.- Si a=b (mod n) y b=c (mod n) entonces a=c (mod n) (Propiedad transitiva).
Esta relación de equivalencia, origina una partición de Z en distintas clases de equivalencia. Así si trabajamos modulo n, el resto de la división de un entero cualesquiera por n, puede tomar los valores 0,1,2,......,(n-1), y tendremos una clase de equivalencia para cada uno de ellos. Es decir que para cualquier n, tenemos n clases de equivalencia en la partición de Z.
Bién para aclarar ideas, y relajarnos un poco de la teoría, pongamos un sencillo ejemplo.
Supongamos que trabajamos en Z modulo 3. Entonces n=3 y los posibles restos al dividir un entero por 3, serán 0,1 y 2.
Así, de la misma forma que 1/2, 2/4 o 3/6 son representantes todos ellos del mismo número racional, tenemos que 2=5=8 cuando trabajamos en Z modulo 3, ya que el dividir cualesquiera de ellos por 3, obtenemos el mismo resto, a saber r=2, osea que todos ellos se hallaran en la misma clase de equivalencia dentro de la partición originada por la relación de equivalencia en Z.
Para terminar por hoy, vamos a ver dos propiedades importantes de la aritmética modular.
En primer lugar tenemos que si a y b son enteros cualesquiera entonces a+b (mod n)=a (mod n) + b (mod n), ello puede verse fácilmente ya que sí a=n*c+r y b=n*c´+r´, entonces a+b=n*c+r+n*c´+r´=n*(c+c´)+r+r´, osea que tenemos que
(a+b) (mod n)=r+r´= a (mod n)+ b (mod n).
De igual forma tenemos que a*b (mod n)=a (mod n)*b (mod n), y de aquí se sigue que para todo entero positivo p, tenemos que a^p (mod n)= (a (mod n))^p.
Veamos algún ejemplo.
Si trabajamos en modulo 3, tenemos que 4^5=1024=1 (mod 3), por otro lado (4 (mod 3))^5=(1 (mod 3))^5=1 (mod 3).
Bueno os dejo que vayais dijiriendo lo dicho, y que Lemuel se prepare para la continuación.
|
| |
|
6/10/2006 00:58
Introducción a las congruencias
