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La función f(x) tiende hacia el límite L en p cuando, para todo ε>0, existe algún δ>0 tal que, para todo x que cumple 0<|x-p|<δ, es |f(x)-L|<ε.
(Es decir, que lím f(x) = L cuando x->p si y solo si se cumplen las condiciones indicadas.)
Esta definición (ε, δ) es el laborioso resultado de más de cien años de intentos teóricos. Tal definición significa la completa rigorización de un concepto, el de límite, que es indispensable para definir a su vez los dos conceptos fundamentales del cálculo infinitesimal: los de derivada e integral.
Echemos un rápido vistazo a la prehistoria del concepto.
Aunque el papel que desempeñaron Newton y Leibniz fue decisivo en el terreno del cálculo, resulta un tanto simplista atribuirles a ellos la creación o “invención” de esta rama de la matemática. De hecho, los dos grandes conjuntos problemáticos en esta materia, que son: el de las tangentes, base del cálculo diferencial, y el de las áreas o cuadraturas, base del cálculo integral, tienen una historia multisecular. Aparte de los ya citados trabajos sobre cuadraturas (exhausción) de Eudoxo y del inconmensurable Arquímedes, ya Apolonio de Perga había llegado a resolver geométricamente hace veintitrés siglos el problema de las tangentes para el caso de las cónicas. Y, obviando otros muchos nombres, en el siglo XVII los más diversos matemáticos europeos, al esforzarse por continuar la obra matemática de Galileo y Kepler, se vieron llevados a centrar su atención sobre esos dos mismos asuntos, el de la determinación de las tangentes a una curva y el de las cuadraturas. La aportación fundamental de Newton y Leibniz fue sobre todo el descubrimiento de la íntima conexión existente entre “tangentes” y “cuadraturas”, o sea, entre derivadas e integrales.
El caso es que Newton y Leibniz, no solo no fueron capaces de recurrir en su obra al concepto clave de límite (concepto que, sin embargo, estaba latente e implícito en sus razonamientos), sino que hicieron uso de unos enfoques y un lenguaje que dejaban muchísimo que desear desde el punto de vista de científico. Newton, por ejemplo, en vez de ‘derivadas’, hablaba de cosas tales como “fluxiones”, y escribía: “Las fluxiones son, con toda la aproximación que se desee, como los incrementos de las fluentes [es decir, las variables] generadas en tiempos iguales y tan pequeños como sea posible. Hablando con precisión, las fluxiones están en el origen de los incrementos nacientes, etc.” Es decir que el gran matemático inglés se veía forzado a recurrir a lo que hoy se llamaría una vacua palabrería neoliberal: “son como”, “en tiempos iguales” (?), “el origen de”, “incrementos nacientes”… Luego empeoraba aún más la cosa cuando se sacaba de la manga no se sabe qué “cantidades últimas” y “cantidades evanescentes”, las cuales cantidades “podían disminuir sin cesar”, etc. Desde luego, cualquier parecido entre todo eso y el lenguaje propio de la matemática habría resultado ser fruto de la pura coincidencia. En cuanto a Leibniz, hablaba así mismo por su parte de valores “evanescentemente pequeños” o “infinitamente pequeños” o “infinitamente próximos”, etc. La ventaja, sin embargo, de los textos de Leibniz en comparación con los de Newton radica en que el alemán fue capaz de idear una notación y unos símbolos que han superado la prueba del tiempo y perduran hasta el día de hoy: dx para la diferencial, dy/dx para la derivada, ∫ para la integral, etc.
El caso es que tanto Newton como Leibniz le pusieron la tarea muy fácil a un lego en matemática como el inteligente pero maligno obispo George Berkeley. Cargado de razón, e inflamado con la conocida caridad cristiana propia de los señores obispos, monseñor Berkeley arremetió, así pues, con enorme saña contra Newton y Leibniz, ridiculizando minuciosamente sus “evanescencias” y demás fantasmagorías matemáticas.
Lo veremos otro día.
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27/10/2006 13:43
Límites, I
