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De modo y manera que, con muy acertado criterio, Cauchy (1789-1848) decidió fundamentar el cálculo sobre el concepto de límite. Lo cierto es que tal enfoque había sido recomendado ya mucho antes, en el siglo XVII, por autores como John Wallis y James Gregory. Y, ya en el XVIII, nada menos que Jean Le Rond d’Alembert había incluído en la célebre y disolvente Encyclopédie un enjundioso artículo titulado precisamente ‘Límite’, en el que, entre otras cosas, puede leerse:
“Se dice que una cantidad es el límite de otra cantidad cuando la segunda puede aproximarse a la primera con una diferencia menor que cualquier cantidad dada, por pequeña que esta se pueda suponer, aunque la cantidad que se aproxima no pueda sobrepasar nunca la cantidad aproximada. (…) La teoría de límites –agregaba d’Alembert—es la base de la verdadera metafísica del cálculo diferencial.”
En otro apartado de la misma pecaminosa Encyclopédie, titulado ‘Diferencial’, el mismo d’Alembert decía que un diferencial (infinitesimal) es una cantidad “infinitamente pequeña”, pero señalaba que esta terminología era “muy abreviada y oscura”. Criticaba así mismo el autor francés la utilización por parte de Isaac Newton de la velocidad para explicar la derivada, ya que con ello introducía en su razonamiento una idea no matemática: la de movimiento. Por desgracia, los contemporáneos de d’Alembert no hicieron el menor caso de sus juiciosas observaciones.
Tras todos estos prolegómenos, en 1821 apareció finalmente el famoso texto de Cauchy titulado Cours d’analyse algébrique, que enseguida se convirtió en la Holy Bible del análisis de variable compleja. Se trataba de un libro en el que el autor se proponía en cierto modo refundar la metodología matemática sobre bases conceptuales estrictamente rigurosas. En esta obra, el autor francés establecía cuidadosamente las nociones básicas del cálculo: función, límite, continuidad, derivada e integral. También distinguía allí entre las series infinitas sumables y las no sumables, es decir, entre series convergentes y divergentes. Estas últimas eran expulsadas a las tinieblas exteriores. La repercusión que tuvo este concreto distingo queda reflejada en una conocida anécdota: Laplace, anciano jubilata ya de 72 años, alertado por el texto de Cauchy, se apresuró a recluirse en su casa durante casi una semana a fin de examinar con lupa las series incluidas en su grandiosa Mecánica celeste. Según pudo comprobar con enorme alivio y satisfacción el bueno de Pierre-Simon, ¡todas esas series eran, gracias a Dios, ortodoxamente cauchianas, es decir, completamente convergentes!
Pero veamos ya cómo definía Cauchy el límite de una función. Textualmente escribía:
“Cuando los valores atribuidos sucesivamente a una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo para llegar por último a diferir de este valor en una cantidad tan pequeña como se desee, entonces dicho valor fijo recibe el nombre de límite de todos los demás valores.”
Lo cual, en lenguaje un poco más formalizado, puede traducirse por:
”La función f tiende hacia el límite L cerca de a si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de a, pero siendo distinto de a.
Como vemos, pues, la cosa dejaba todavía bastante que desear. Lo de “suficientemente cerca de” y, sobre todo, eso de “una cantidad tan pequeña como se desee” (o “tan cerca como queramos”) sonaba a caprichitos de preñado o preñada más que a pura objetividad matemática.
Tendrían que pasar aún unos treinta años para que el alemán Karl Weierstrass viniese a poner definitivamente los puntos sobre las íes del delicado concepto de límite.
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1/11/2006 14:10
Límites, III
