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Dices: “Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre si”.
Cuánto me agradaría que, en un foro filosófico como este, aparte de tocar asuntos de la palpitante actualidad política, como es nuestra obligación, nos decidiéramos también a debatir de vez en cuando, entre otras cosas, acerca de esta apasionante problemática.
Porque, ya que estamos en ello, esa proposición lógica que enuncias como si fuese universalmente evidente (“dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí”), en realidad es, no ya solo muy discutible, sino completamente insostenible en el ámbito concreto de la matemática. De modo que cabría decir que una cosa es la lógica formal y otra cosa parecida, pero bastante distinta, es la lógica matemática, sobre todo a partir del bueno de don Georg Cantor.
Veamos solo un sencillo ejemplo entre tantos otros que cabría esgrimir: el de la enumerabilidad de conjuntos infinitos. (Infinitos enumerables, pues, sin ascender más peldaños en la alucinante genealogía borgiana de los álefs.)
Parece lógico pensar que dos conjuntos cualesquiera, A y B, integrados cada uno de ellos por un número de elementos igual al de los de un tercer conjunto, C, son, numéricamente hablando, iguales entre sí. En efecto, si A y B son conjuntos con un número de elementos, cada uno de ellos, igual al del conjunto C = 7, eso quiere decir que A = 7 y B = 7, y, por lo tanto, en lo que a la cosa numérica se refiere, A = B. Lo cual, generalizando, y desde un punto de vista “lógico-formal”, supondría también evidentemente que A + B = 2*C.
Sin embargo, con los números naturales, o enteros positivos, sin ir más lejos, eso no se cumple. El conjunto N de los números naturales, integrado tanto por los números pares, llamémosles NP, como por los impares, NI (lo cual significa que NP y NI son simples subconjuntos disjuntos de N), tanto NP como NI tienen una cardinalidad idéntica a la del conjunto N, es decir, el infinito numerable, o álef sub cero. Lo cual, por un lado, no solo significa que NP = N y NI = N, sino que quiere decir además y al mismo tiempo que NP + NI = N, que NP = N, que NI = N, que NP + NI + N = NP, y así sucesivamente: valdría y sería cierta cualquier otra combinación de sumas y productos que a uno se le ocurriera elegir con los conjuntos numéricos NP, NI y N. Por ejemplo: 2.000*N = NI + N + NP + ZP. (Lo del ZP es solo broma, bien entendu!)
Quiero con esto decir, no que la matemática prescinda o pueda prescindir de la lógica, lo cual sería absurdo, sino que la lógica matemática es mucho más refinada y va más allá de la simple lógica formal, de enunciados o predicados, de primer o segundo orden, deóntica o erotética.
Abramos el correspondiente debate, y que cada cual aporte su hatillo.
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30/08/2006 16:21
Lógica
