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La brutal catástrofe que significó para los pitagóricos la inesperada irrupción de la irracionalidad numérica en su armoniosa Weltangschauung (creo que se escribe así) puede calibrarse teniendo en cuenta que para ellos los números naturales y la proporción entre esos números constituían la medida de todas las cosas. “Todas las cosas que pueden ser conocidas –decía Filolao—tienen número. Y no es posible que nada pueda ser conocido o concebido sin número.” Estas ideas se manifestaban no solo en la aritmética de la época, como ya he dicho, sino también en la filosofía, en la cosmología y en las teorías musicales de los pitagóricos.
Ya he comentado el otro día cómo la duplicación del cuadrado provocó la herética aparición primera de la nefasta √2. Pero es que la cosa no quedó ahí. Según una famosa leyenda, en una época en la que Atenas estaba siendo diezmada por la peste, el dios Apolo (ya sabes: el tañedor de lira, hijo predilecto de Zeus) ofreció gentilmente sus buenos oficios, por medio del oráculo de Delfos, para acabar con aquella tragedia. Solo puso una condición: que se duplicase el volumen del altar cúbico que los atenienses habían erigido en su honor. Así que los expertos en duplicar cubos entraron en escena: se remangaron las mangas (valga la redundancia), si es que ya se habían inventado las mangas, y en un pispás duplicaron la arista del altar, con lo que el volumen del cubo se multiplicó por 8, la peste siguió haciendo estragos, y el bueno de Platón llegó a la conclusión de que el verdadero objetivo de Apolo al plantear aquel diabólico problema era… ¡que los atenienses supervivientes ampliasen un poco sus conocimientos geométricos! (Por cierto que el propio filósofo debía estar algo pez en punto a duplicación de cubos, ya que, consultado al respecto por un devoto discípulo, aconsejó prudentemente que le plantearan el asunto al inmortal Eudoxo. ¡Nadie entre aquí sin saber geometría…! Y es que en la duplicación del cubo, puesto que el lado es la raíz cúbica del volumen, para que éste se duplique, el nuevo lado ha de obtenerse multiplicando el antiguo por la raíz cúbica de 2. ¡La cual raíz cúbica es un número tan irracional como √2, naturalmente, y de ahí la platónica prudencia de Platón!)
Ahora bien, dado que las desgracias nunca vienen solas, ocurrió además que la odiosa irracionalidad numérica se introdujo también subrepticiamente por la puerta de atrás de la teoría musical pitagórica, uno de los mayores orgullos de aquella legendaria escuela.
Se ha dicho acertadamente que en los descubrimientos musicales de Pitágoras se manifiestan las primeras leyes cuantitativas de la física. Si, al ser dulcemente tañida por Apolo, una cuerda de la lira emite la nota Do, otra cuerda semejante de longitud doble emitirá también el Do pero de una octava inferior. Entre esos dos sonidos extremos de la octava, las demás notas se corresponderán con cuerdas cuyas longitudes vengan dadas por razones intermedias: 16:9 para el Re, 8:5 para el Mi, y así sucesivamente.
Fascinados por estas divinas proporciones sonoras, los pitagóricos imaginaron que los cuerpos celestes, al moverse allá arriba, emitían una maravillosa aunque inaudible música o “armonía de las esferas”. A los siete planetas conocidos se les adjudicaba la nota musical correspondiente según el orden en que aparecen al observador terrestre: Luna (Do), Mercurio (Re), Venus (Mi), Sol (Fa), Marte (Sol), Júpiter (La) y Saturno (Si). Y luego, procediendo por quintas, la disposición resultante era: Luna, Marte, Mercurio, Júpiter, Venus, Saturno y Sol, que es la misma que hoy subsiste todavía entre nosotros para nombrar los días de la semana. (Platón, en el mito de Er, incluido al final de La república, se hace cumplido eco de estas armoniosas especulaciones.)
Pues bien, al dividir el tono pitagórico en dos semitonos, daba la maldita casualidad de que había que extraer la raíz cuadrada de 9/8. Con el numerador no había problema, ya que sale 3. ¡Pero, en el denominador, la √8 = 2*√2! Dejando de lado cuestiones musicales algo técnicas, como la llamada “coma pitagórica” y otras, diré simplemente que, por culpa de la fatídica √2, en la “armonía de las esferas” empezaron a percibirse ciertas perturbadoras disonancias y cacofonías. (Estos problemas no quedaron básicamente resueltos hasta la publicación, tras la muerte de su autor, de El clave bien temperado de Johann Sebastian Bach.)
Pero, bueno, no nos dispersemos. Volviendo a lo nuestro: que esta claro que, entre los números reales, se hallan los dóciles y obedientes racionales de toda la vida, pero también los tercos, intratables y díscolos irracionales. ¿Cómo definir matemáticamente estos últimos entes? Lo veremos en un próximo post, si Dios no dispone otra cosa.
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27/12/2006 17:32
Números, 4
