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Me gustaría hacer una pequeña sugerencia sobre este post que ha escrito Lemuel, y cuya pretensión era introducirnos al concepto de número y a las distintas clases de números que hemos construido (o nos hemos ido encontrando tal vez).
Porqué?. Bien, porque para mi el concepto de número está estrechamente ligado al concepto de cuerpo, y al de cuerpo ordenado con una ordenación completa.
Se podría objetar que, ni N ni Z son cuerpos y sin embargo consideramos números tanto a los naturales como a los enteros. Sin embargo les hago memoria de que tanto N como Z son subconjuntos de Q, por lo tanto sus elementos son, elementos de un cuerpo, de hecho de un cuerpo primo y ordenado (aunque no con una ordenación completa como en el caso de R).
De hecho Z aparece por la necesidad de dotar a todo número natural de un opuesto para la suma, y Q para dotar a todo elemento de Z distinto de 0, de un inverso para el producto.
Es decir Q aparece enrealidad para extender N y Z de forma que adquiera estructura de cuerpo precisamente.
Y sin embargo, Q pierde importantes propiedades de orden con respecto a N. Mientras que N es un conjunto bien ordenado, es decir, que todo subconjunto no vacío de N tiene elemento mínimo respecto al orden usual, en Z ya tenemos que exigir que el un subconjunto de Z este acotado inferiormente además de ser vacío para poder hacer la misma afirmación, por lo que Z deja de ser un conjunto bien ordenado.
En Q la cosa es peor, en el sentido de que hay conjuntos no vacíos y acotados superiormente que no tienen máximo, y por no tener no tienen siquiera cota superior mínima. Sirva de ejemplo el conjunto {x€Q y x^2<=2}.
Por este motivo y necesidades topológicas relacionas con los conceptos de elemento límite y continuidad, es necesario extender Q a R, ya que en R se consigue almenos que, todo conjunto de números reales no vacío y acotado superiormente tenga cota superior mínima. Es lo que se denomina la propiedad del supremo de R, y lo que confiere a R la estructura de cuerpo completamente ordenado, y de hecho todo cuerpo con estas características es isomorfo a R. Eso es importante, tengan siempre presente que en este sentido R es único.
Ahora bien, existía otro problema de tipo algebraico por solucionar, que estaba relacionado con las soluciones de ciertas ecuaciones polinómicas que no tenían soluciones reales. Así nacío la unidad imaginaria y los números complejos, cuyo origen algebraico fué, el de dotar de soluciones a todo tipo de ecuación polinómica. Así una vez creados los números complejos, podía demostrarse que todo polinomio de grado n, tenía exactamente n raices complejas, que en algún caso eran números reales, ya que los complejos eran construidos de tal forma que RcC.
Sin embargo, el cuerpo de los números complejos ya no era un cuerpo completamente ordenado, de hecho la cosa es peor, ya que los números complejos no son siquiera un cuerpo ordenado. Aunque eso sí, tenían como subconjunto a R que sí era un cuerpo ordenado con una ordenación completa.
Ahora bien, aún así a los números complejos se les denomina números, básicamente porque tienen estructura de cuerpo.
Fijense por ejemplo en el detalle de que, los números complejos son enrealidad un par de números reales, o si lo prefieren, un número real de dos dimensiones, la parte real una, y la imaginaria la otra.
En cierta forma, podriamos decir que podemos dotar a C=RXR=R^2 (notar que C y el espacio vectorial R^2 tienen exactamente los mismos elementos) de una operación de suma y otra de producto de forma que mantiene su estructura de cuerpo.
Es posible demostrar que para n>2 no podemos definir un producto que confiera a R^n de estructura de cuerpo, ya que , por ejemplo, los cuaterniones de Hamilton son lo que podriamos llamar un cuerpo no conmutativo o si prefieren un anillo de división. Es decir que adolecen de la propiedad conmutativa para el producto.
Y curiosamente a nadie se le ha ocurrido llamarles números precisamente por eso.
Bien les dejo para que mediten lo dicho, despidiendome hasta otra ocasión.
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16/09/2007 12:09
Números, cuerpos y cuerpos ordenados completamente
