 |
Como íbamos diciendo…
[Por cierto, que me satisface mucho que ni ^Cuervo^ ni nadie haya detectado en mi post anterior ninguna falta o desenfoque dignos de reproche o mención. ^Cuervo^ insiste mucho en que “el matemático” soy yo, pero no entiendo muy bien qué quiere decir eso de “ser” matemático. Lo que sí sé es que él mismo y NuezMoscada (cuyos posts echo de menos) saben mucho más que yo de teoría de conjuntos. ¡Pues lo mío, en realidad, es el cálculo diferencial e integral!]
Bien, pero a lo que íbamos. ¿Por dónde íbamos? Ah, sí…
Antes de volverse del todo majara, el bueno de Georg Cantor distinguía con gran lucidez entre ‘Zahl’ y ‘Anzahl’, o sea, entre el número de objetos de un conjunto (cardinalidad) y la enumeración de esos objetos, en la cual se tiene en cuenta el orden de los mismos (ordinalidad). (Para Cantor, el hecho mismo de enumerar o contar los elementos de un conjunto era equivalente a ordenarlos.) Por ejemplo, todos los conjuntos siguientes (en los que los números y letras situados a la derecha de ‘a’ han de leerse como subíndices) tienen la misma potencia o cardinalidad, álef0, pero sus números ordinales son distintos:
(a1, a2, …, an, a(n+1), …) = w
(a2, a3, …, a(n+1), a(n+2), …, a1) = w+1
(a3, a4, …, an, …, a1, a2) = w+2
(a1, a3, a5, …, a2, a4, a6, …) = w+w
Intentaré explicar ahora como pueda por qué, mientras que a la izquierda de esas expresiones tenemos siempre una cantidad infinita de términos, a la derecha aparece unas veces w, otras w+1, etc. En realidad, todo consiste en el orden de los elementos. En la primera ecuación anterior, estos elementos aparecen en su correlación natural, y son infinitos. En la segunda hemos empezado por el segundo de los elementos, mientras que el primero, a1, lo hemos ubicado tras los puntos suspensivos indicativos de la infinidad w. O sea, que, por así decir, hemos “agregado” un elemento más a w, con lo que resulta w+1. Mutatis mutandis, algo semejante se puede decir de la tercera expresión. En la cuarta aparecen separadas las posiciones impares de las pares, aunque lo mismo podíamos haber distinguido, por ejemplo, entre números compuestos y primos, o entre los múltiplos de 3 y los que no lo son, etc.
Antes de seguir adelante, veamos por qué no son conmutativas las operaciones aritméticas con ordinales transfinitos. Consideremos el caso de w+1, que es distinto de 1+w. Detengámonos primero en el caso de w, que también es distinto de w+1 (lo que en términos “Zahl”, o puramente cuantitativos parecería poco menos que absurdo, puesto que ambos son álef0). Pero es que el tipo de orden de w = (0, 1, 2, 3, …) más el tipo de orden de (a) = tipo de orden de (0, 1, 2, 3, …, a) = w+1, el cual es distinto del w inicial. Recordando lo que decíamos en el post anterior, o sea, que “dos conjuntos bien ordenados tienen igual tipo de orden si son isomorfos”, advertimos aquí con toda claridad que w+1 = (0, 1, 2, 3, …, a) y w = (0, 1, 2, 3, …) no son isomorfos, ya que estos conjuntos no tienen la misma estructura: el primero de ellos tiene un máximo, que es a, mientras que el segundo no tiene máximo ninguno. En cambio, por otro lado, podemos decir que 1+w = w, ya que (a, 0, 1, 2, 3, …) y (0, 1, 2, 3, …) son sin duda isomorfos bajo el isomorfismo f(a) = 0 y f(n) = n+1. o sea: al primer elemento, a, del primer conjunto le corresponde 0 y al elemento n le corresponde n+1. Volviendo ahora a lo que decíamos (o sea: decía yo) al principio de este párrafo, queda claro que w+1 es distinto de 1+w, puesto que, como acabamos de ver ahora mismito, ha resultado que 1+w = w, mientras que w+1 es distinto de w. En pocas palabras, que 1+w es distinto de w+1. Y, en general, n+w = w es distinto de w+n, siendo n un número natural distinto de 0.
Esta no conmutatividad de la suma se extiende también a las demás operaciones aritméticas de los ordinales. Pero yo creo que, de momento, esta pequeña pero algo letal dosis de matemática bruta es más que suficiente para el sufrido lector (?). Seguiré tras un descanso, si Dios no lo remedia. O sea: si no me parte un rayo, que Dios no lo quiera.
[Como entretenimiento para el curioso lector, yo le propondría que se (o nos) pusiese ejemplos de los sucesivos ordinales transfinitos: w.3, w.4, w^2, w^3, w^n, y por ahí de seguido.]
|
| |
|
19/09/2006 14:38
Ordinales transfinitos, 2
