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Por lo que hemos ido viendo hasta ahora, sabemos que después de los números ordinales finitos 0, 1, 2, 3, …, como caso límite llegamos a w, que es el primer ordinal infinito. Tras w tendríamos w+1, w+2, w+3,… hasta llegar a w+w = w.2. De ahí en adelante: w.2+1, w.2+2, …, hasta w.2+w = w.3. De manera análoga vendrían luego w.4, w.5, …, w.w. Tras este w^2 se sucederían w^2+1, w^2+2, …w^2+w,…, w^2+w^2. Este último término es ya
w^2.2, al que seguirían w^2.3, …, w^2.w = w^3, y luego w^4, w^5, …, w^w, w^w^w, etc. Llegaríamos por esta vía al caso w^w^w^w^w…, con w elevado a w un número w de veces, cantidad, como puede imaginarse, bastante abultada, que Cantor designaba como épsilon 0. Pero es que luego del épsilon 0 iban apareciendo los demás epsilones: 1, 2, 3, … A estos números Cantor los llamaba prudentemente “gigantes”, y son el punto de partida de la “teoría de las funciones normales”, desarrollada años después por Hessenberg y Hausdorff. De estas cosas no voy a hablar aquí, primero, porque se aparta ya mucho de lo que estamos tratando, y segundo, y más que nada, porque no tengo repajolera idea de qué va el asunto.
De lo que se trata ahora, sin embargo, es de distinguir en ese vertiginoso y algo mareante baturrillo (preciosa palabra olvidada ésta) o torbellino de números lo que Cantor denominaba clases numéricas. Para elaborar la correspondiente teoría, además de los dos principios de generación de ordinales antes citados, el matemático hacía uso de un tercer principio, llamado de restricción o limitación (“Hemmungsprinzip”) que definía como “la exigencia de que solo se proceda a la creación de un nuevo número entero (…) si la totalidad de los números precedentes tiene la potencia de una clase numérica definida, disponible ya en toda su extensión”.
Así, hay una primera clase numérica, o clase I, que es N, el conjunto de los enteros positivos, establecido lo cual debemos aceptar los ordinales cantorianos de la clase segunda o clase II, y así sucesivamente. Los números de la clase I son aquellos tales que el conjunto de sus antecesores es finito. La potencia de la clase I es la primera potencia transfinita álef0. Los números de la clase II, es decir, w, w^w, etc., son los que tienen un conjunto de antecesores infinito enumerable. Y lo importante de esta clase II es que, como demostró Cantor en los Grundlagen, es que su potencia o cardinalidad es la segunda potencia álef1. La clase III sería la de los ordinales cuyos antecesores forman un conjunto de potencia álef1, clase cuya potencia propia sería álef2, y así de seguido. De este modo definía Cantor una escala transfinita de potencias sucesivas crecientes que le permitía definir el llamado problema del continuo.
Cantor conjeturó que no existía ningún conjunto cuyo cardinal estuviese comprendido entre card(N) y card(R) = 2^card(N). O, dicho de otro modo, y llamando c a la cardinalidad del continuo, o “número de puntos de la recta real”, la hipótesis de Cantor era sencillamente que c = álef1. En 1900, David Hilbert (que había dicho aquello tan bonito de que “nadie nos expulsará nunca del paraíso de Cantor”) planteó precisamente esta hipótesis como el primero de los 23 principales problemas con los que había de enfrentarse la ciencia matemática en el nuevo siglo que se anunciaba. En 1939-40, Kurt Gödel demostró la consistencia de la hipótesis del continuo con los axiomas usuales de la teoría de conjuntos. Y en 1963-4, Paul J. Cohen probó por su parte la independencia de la hipótesis con respecto a esos mismos axiomas. Dicho en términos coloquiales: que puede usted considerar que c es igual a álef1, o que es distinto de álef1, según buenamente le apetezca en un momento dado.
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21/09/2006 01:05
Ordinales transfinitos, y 3
