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Hay un problema serio cuando escribimos cosas como "aleph_0 + 1=aleph_0", y es que en esa expresión está muy claro lo que es el '1', está claro tambien (más o menos) lo que es 'aleph_0', pero el '+' parece claro pero no lo es. en el conjunto de los numeros naturales el elemento neutro de la suma es definido como aquel numero que sumado a un segundo queda el resultado inalterado. Es decir, que sí tenemos que a+c=a para cualquier numero a, entonces c es el elemento neutro de la suma. Se puede demostrar que dentro de los numeros enteros este elemento neutro es único (o sea, el cero) y que es el único que tiene esta propiedad, no necesariamente para todo a, sino para cualquier a. Entonces ¿Qué pasa con la expresión anterior "aleph_0 + 1=aleph_0"? de acuerdo a lo que acabamos de decir, el 1 sería entonces el elemento neutro de la suma. Pero otro tanto podemos decir con el 2, el 3,... ¿Que ha ocurrido?
Pues sencillamente que el simbolo '+' en esta expresión no está haciendo referencia a lo que convencionalmente se llama suma. Si queremos considerar esa expresión como una operación en lugar de algo meramente simbólico, tendremos que tener en cuanta que el + es un nuevo operador distinto al '+' tradicional de la suma. Con esta salvedad, no veo problema en el establecimiento de una aritmética transfinita.
Otro tema es lo intuitiva(!) que nos resulta la expresión "aleph_0 + 1=aleph_0". Nuestro sentido común nos dice que si al infinito le sumamos 1 seguimos teniendo infinito. Pero el sentido común a veces yerra. En este caso, o bien el infinito no es un número, y en ese caso no lo podemos sumar, o bien lo tratamos como si fuera un número (o mejor dicho, un conjunto de ellos), pero en este caso no es una suma "convencional" lo que estamos haciendo.
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30/08/2006 18:13
Re: Aritmética transfinita
