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Dejo tus propuestas de demostración, para que aquellos animados lectores de tu post intenten hacerlo.
Yo me centraré, en seguir desarrollando propiedades de las congruencias que todavía no han sido mencionadas por ninguno de los dos.
Sean n y d dos enteros positivos, siendo d un divisor de n (n=d*k, para algún entero positivo k). Entonces tenemos que si para dos enteros cualesquiera s y t, s=t (mod n) entonces s=t (mod d), ya que t-s=n*c=(d*k)*c=d*(k*c). Es decir sí s es congruente con t módulo n, entonces s también será congruente con t si usamos como módulo, cualquier divisor de n.
Ejemplo: Sea s=9, t=15 y n=6=3*2 entonces tenemos que 9=15 (mod 6) ya que 15-9=6=0 (mod 6), y también 9=15 (mod 2) ya que 15-9=6=0 (mod 2), y 9=15 (mod 3) ya que 15-9=6=0 (mod 3).
Sin embargo, el recíproco no és cierto, es decir, podría ser que s=t (mod d) pero no s=t (mod n).
Ejemplo: sea s=4 , t=2 y n=6=3*2, entonces 4=2=0 (mod 2), sin embargo no es cierto que 4=2 (mod 6).
Ahora bién, sea la descomposición en factores primos de n la siguiente, n=p1^e1*p2^e2*p3^e3*.......*pn^en, en donde los diferentes valores de p corresponden a los distintos factores primos de la descomposición, y los diferentes valores de e, a los exponentes de dichos factores.
Entonces lo que sí es cierto éss que si s y t son congruentes para cada uno de los módulos p1^e1, p2^e2,....,pn^en de la descomposición, también seran congruentes modulo n.
Así podemos ver en nuestro primer ejemplo que n=6=3*2 entonces como 15=9 (mod 2) y 15=9 (mod 3) tenemos que 15=9 (mod 6).
Por el contrario en nuestro segundo ejemplo, tenemos que 2=4 (mod 2) pero no es cierto que 2=4 (mod 3), y por lo tanto tampoco se cumple que 2=4 (mod 6)
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7/10/2006 15:26
Re: Congruencias, II. Divisibilidad
