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Sigo estando bastante de acuerdo en lo que vas exponiendo, aunque eso sí, me gustaría hacer una aclaración, más que dirigida a ti, dirigida a quién lo lea y no tenga grandes conocimientos sobre el tema.
Como he repetido varias veces en mis posts, en matemáticas todo és un conjunto, de tal forma que un objeto que no sea un conjunto, no pertenece al ámbito de las matemáticas, ni puede ser tratado a traves de una teoría axiomática de conjuntos. Porqué lo digo?. Veamos, Lemuel nos dice que :
{a1, a2, …, an, a(n+1), …} = w
{a2, a3, …, a(n+1), a(n+2), …, a1} = w+1
{a3, a4, …, an, …, a1, a2} = w+2
{a1, a3, a5, …, a2, a4, a6, …} = w+w
Y en el sentido en el que él lo dice, tiene sentido su afirmación, porque él no se centra en los conjuntos representados, sinó en el orden de los elementos en dichos conjuntos. Sin embargo, formulado así tenemos un problema, y es que como conjuntos w=w+1=w+2=w+w, son en realidad el mismo conjunto, y no podrían representar ordinales distintos.
Siguiendo la representación de Von Newman, y tal como expuse en mi post anterior, existiría para cada uno de estos ordinales, un conjunto que sería un ordinal y que realmente sería diferente en cada caso.
Veamos como proceder para conseguirlo. En primer lugar pensemos en que representa n+1 cuando n es un natural. n+1 en este caso es simplemente el sucesor de n. Si extendemos esta idea a cualquier ordinal, tenemos que para cualquier ordinal O, O+1 será S(O) (en realidad es posible demostrar que dado un ordinal O, no existe otro ordinal P, tal que O < P < S(O), lo cual justifica todavía más nuestro aserto). El conjunto w+1 que yo suelo representar por N+1 (osea entiendase que mi N es la w de Lemuel), vendría representado por el conjunto S(N)={0,1,2,.....N}, conjunto que como bién afirma Lemuel se diferencia de N en que tiene elemento máximo (el propio N, ya que cualquier número natural pertenece a N y N=N), y como conjunto también es distinto de N. Podemos ahora preguntarnos que conjunto representará a N+2. Para ello observemos como antes que si tenemos un natural n, S(n+1)=n+S(1)=n+2. De hecho podemos generalizar la idea a cualquier ordinal transfinito, ya que como hemos dicho, entre S(N) y S(S(N)) puede demostrarse que no hay ordinal intermedio alguno. Por lo tanto N+2=N+S(1)=S(N+1)={0,1,2,........N,S(N)}. Ahora podemos decir como dice Lemuel, que el orden representado por este nuevo ordinal no es el mismo que el de N+1, ya que aunque ambos tengan elemento máximo (que es precisamente lo que les diferencia de N), en el caso de N+1 el elemento máximo es N, y en el caso de N+2 es S(N) (ya que todo natural, y el propio N pertenecen a N+2, y S(N)=S(N)). Además, como conjuntos son distintos como podeis ver. Así, generalizando el proceso tendriamos que N+n=N+S(n-1)=S(N+(n-1))={0,1,2,.......N,S(N),S(S(N)),.....hasta obtener n-1 sucesores de N}.
Ahora ya sabemos pues con exactitud que representa cualquier expresión del tipo N+n con n natural. De hecho y como podemos ver fácilmente podemos generalizar una propiedad de la suma de ordinales transfinitos a partir de lo hecho hasta ahora.
Dados dos ordinales O y P, siempre podemos afirmar que S(O+P)=O+S(P).
Otra propiedad fácil de intuir es que para cualquier ordinal P
se cumple que P+vacío=P.
Ahora bién, existe una tercera propiedad que no es tan fácil de ver. Para demostrar la no conmutatividad de la suma, Lemuel nos dice que N+1<>1+N. Pero que será en términos conjuntistas 1+N?.En este caso no podemos decir que 1+N=1+S(P)=S(1+P), porque no existe ningún ordinal P cuyo sucesor sea N, ya que N es un ordinal límite. Entonces que significará 1+N?
La forma de definirlo es la siguiente. Imaginemos que tenemos dos ordinales O y L, siendo L un ordinal límite, y queremos obtener el ordinal O+L. Consideremos ahora la clase de todos los ordinales estrictamente menores que L. Dicha clase es un conjunto, porque es una subclase de la clase propia de todos los ordinales. Y consideremos ahora el conjunto de ordinales O+A en donde A<L, que también es un conjunto por lo dicho anteriormente. Pues bién, O+L será la gran unión de dicho conjunto. Dicho de otra forma, en nuestro caso, 1+N=U {1+0,1+1,1+2,............}=U {1,2,3,.........}=N. Efectivamente entonces 1+N=N <> S(N)=N+1.
Siguiendo el mismo proceso N+N=U {N+0,N+1,N+2,N+3,.......}={N,{0,1,2,....,N},{0,1,2,....,N,S(N)},........,{0,1,2,....,N,S(N),S(S(N)),........},........}={0,1,2,........N,S(N),S(S(N)),........}=N.2
Siguiendo procedimientos similares, podriamos obtener N.3, N.4 e inclusive N.N, pero bueno, creo que por hoy, voy a necesitar un descanso, osea que vamos a esperar nuevas aportaciones de Lemuel y demás contertulios que se quieran adherir a nuestro post.
Sin más un saludo y hasta la proxima.
Ammmm, solo una cosa más, fijaros que con la definición que he dado, lo que sí es cierto, es que para el vacío se cumple que vacío+O=O=O+vacío, como bién observaba Lemuel en su escepción a la regla.
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19/09/2006 20:51
Re: Ordinales transfinitos, 2
