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No pretendo profundizar en este fascinante asunto de las series numéricas, cuyo cabal desarrollo proporcionaría materia sobrada, según calculo, para no menos de treinta o cuarenta posts bastante densos y de regular tamaño. Solo voy a tocar la cuestión muy por encima.
Empezaré recordando algunas nociones básicas.
Una sucesión numérica infinita es algo así como
u1, u2, u3, …, un, … , donde las ‘u’ son números reales, los 1, 2, 3, …, n son subíndices adjuntos a las ‘u’, , y un = f(n) es el término ene-simo de la sucesión. Ejemplo: 1, 4, 9, …, n^2, … Aquí el término ene-simo o general es n^2, del cual, dándole a n los valores 1, 2, 3, …, van resultando los citados términos de la sucesión: 1, 4, 9, …
Se llama serie numérica infinita la expresión
S = u1 + u2 + u3 + … + un + …,
la cual puede escribirse también, en abreviatura, como Σ un, es decir, ‘sigma u sub ene’, que quiere decir: la suma de todos los términos ‘un’, desde n = 1 hasta n = ∞.
La suma de tan solo los n primeros términos de una serie numérica se designa por Sn y se llama “suma enésima parcial”. La serie infinita S se considera que es convergente si Sn tiende a límite finito cuando n crece indefinidamente, es decir, si lím Sn = S cuando n tiende a ∞. Ese número S se llama suma de la serie. Si, en cambio, Sn no tiende a un límite finito cuando n tiende a ∞, se dice que la serie es divergente, o que su suma es infinita.
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Consideremos el sencillo ejemplo de la llamada serie geométrica de razón r < 1:
S = a + ar + ar^2 + ar^3 + … + ar^k + … (*)
[Ejemplo: 2 + 2/3 + 2/9 + 2/27 + ... + 2/3^k + … ]
Como hizo en su tiempo Jakob Bernoulli, multipliquemos por r esa serie (*):
S.r = ar + ar^2 + ar^3 + … + ar^(k+1) + …
Restando de (*) esta última expresión, tenemos
S(1-r) = a, de donde resulta
S = a/(1-r),
ecuación que nos proporciona la suma de la serie siempre y cuando, repito, sea r < 1, pues si no la S sería ∞.
[En el ejemplo anterior, sería 2/(1 – 1/3) = 3.]
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El gran Leibniz se enfrentó audazmente con, y fue capaz de sumar de manera muy elegante, la curiosa serie
1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + … (**)
Expresión que, de entrada, plantea el problema (que a muchísimos estudiantes se les (nos) atraganta a veces de muy mala manera) de hallar su término general. Observemos los denominadores:
1, 3, 6, 10, 15, …
¿Cuál será aquí el denominador n-simo? Esforzándose un poco, no es demasiado difícil ver que ese denominador es n(n+1)/2, el llamado “número triangular” de los griegos. (Compruébese: para n = 1, resulta 1; para n = 2, resulta 3; para n = 3 resulta 6, etc.) Por lo tanto, el término general será el inverso de ese denominador, ‘un’ = 2/n(n+1). De modo que nos enfrentamos con conocida serie llamada “telescópica”, Σ 2/n(n+1).
Para resolverla, el habilidoso Leibniz escribió (**) de la siguiente manera:
2 (1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + …) =
2 [(1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + …].
Evidentemente, los términos -1/2 + 1/2, -1/3 + 1/3, … se anulan dos a dos hasta el infinito, con lo que solo queda finalmente
2 [1] = 2.
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16/03/2007 01:32
Series numéricas, I
