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Para que una serie sea convergente es necesario que su término general tienda a 0 (o sea, cero) cuando n tiende a infinito (es decir, ∞). Es esta una condición necesaria pero no suficiente para la convergencia. Dicho de otro modo: el término general de cualquier serie convergente tiende a cero, es verdad, pero no todas aquellas series cuyo término general tiende a cero son convergentes, ojo. El ejemplo más ilustrativo de ello es el de la llamada serie armónica:
Σ 1/k = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + … + 1/n + …,
la cual es divergente, pese a que 1/n tiende a cero cuando n se hace indefinida o infinitamente grande.
Existen muy variadas e interesantes demostraciones de esta célebre divergencia. A Jakob Bernoulli se debe una de ellas. Pero yo daré aquí otra más sencilla, la utilizada en el siglo XIV por Nicolas Oresme, obispo de Lisieux, basada en el llamado criterio de comparación: si los términos de la serie armónica son mayores uno a uno que los de otra serie divergente, la serie armónica será divergente a fortiori.
Consideremos, en efecto, la siguiente serie:
1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + …
Olvidando de momento los paréntesis que he puesto, vemos que esos términos los hemos obtenido sustituyendo 1/3 por 1/4, que es un número menor, y 1/5, 1/6 y 1/7 por 1/8, que es también un número menor. Así proseguiríamos luego, sustituyendo los siguientes ocho términos por 1/16, etc. Es evidente, por tanto, que los términos de esta nueva serie son todos iguales o menores que los de la armónica. Ahora bien, sumando los números incluidos entre paréntesis, tenemos
1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + … = 1 + n/2,
con n tendiendo a ∞, con lo que la serie diverge a ∞. Por lo tanto la serie armónica diverge también a ∞.
La armónica es el caso más sencillo (p = 1) de las llamadas p-series:
Σ 1/k^p = 1 + 1/2^p + 1/3^p + 1/4^p + …
Un caso aparentemente un poco más complicado es el que corresponde a p = 2, es decir:
Σ 1/k^2 = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …
Obsérvese el anodino aspecto que presenta esta serie, con las potencias cuadradas sucesivas de los números naturales como denominadores: 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...
Pero, ¡ay, queridos amigos míos! Como decía aquel traductor de Esopo, aquí nos topamos inesperadamente con un auténtico hic, Rhodus, hic salta. Una cosa de tan inocente aspecto como esa burló durante muchos años los esfuerzos de los más potentes cerebros matemáticos. Pietro Mengoli se declaró, el primero, incapaz de resolverla. El formidable Leibniz, el mismísimo don Gottfried Wilhelm, vencedor en tantas gloriosas lides seriales, pese a las muchas vueltas que le dio al asunto en su cabeza, fue incapaz de sumar esos humildes números. El citado y laborioso Jakob Bernoulli le dedicó así mismo inútilmente los mayores esfuerzos imaginables: cabe imaginar su frustración ante una serie de apariencia tan sencilla. «Grande será nuestra gratitud –escribió el buen hombre al final de su laboriosa vida, desde Basilea— si alguien encuentra y nos comunica lo que hasta ahora ha escapado a nuestros esfuerzos.»
Cuando este excelente matemático murió en 1705, aún faltaba un año para que naciese la persona que resolvería finalmente el endiablado enigma, el cual enigma era ya conocido como “el problema de Basilea”. Esa persona, suiza también como Bernoulli, no sería ni más ni menos que el portentoso Leonhard Euler, a mi juicio uno de los cuatro grandes de la historia de la matemática, junto con Arquímedes, Newton y Gauss.
En un próximo post intentaré (ya veremos si lo consigo, con la ayuda de Dios) explicar cuáles fueron los pedregosos y casi intransitables caminos que recorrió este inaudito monstruo para acceder a buen puerto.
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17/03/2007 19:42
Series numéricas, I
