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Treinta años después de la muerte de Bernoulli, en 1735, Leonhard Euler escribía pletórico de satisfacción:
«Contra todo pronóstico, he encontrado una expresión elegante para la suma de la serie 1+ 1/4 + 1/9 + 1/16 + etc., que depende de la cuadratura del círculo. He hallado que seis veces la suma de esa serie es igual al cuadrado de la longitud de la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es 1.”
Dicho en sermo vulgaris: Σ 1/k^2 = (π^2)/6.
Verdaderamente increíble: ¡la suma infinita de una serie de vulgarísimos números racionales resultaba ser equivalente a la sexta parte del cuadrado del número trascendente por antonomasia, π! ¡Parecía cosa de magia, o una simple broma de don Leonhard! Pero no: veamos paso a paso cómo llegó a ese resultado el gran matemático.
Partió de una serie funcional que aparentemente no tiene nada que ver con la serie dada, el polinomio infinito:
P(x) = 1 – (x^2)/3! + (x^4)/5! – (x^6)/7! + (x^8)/9! - …,
donde, como es sabido, el factorial de 3, o sea 3! = 3*2*1, el 5! = 5*4*3*2*1, etc. Para x = 0, el valor de P(x) es P(0) = 1. Para hallar las raíces de P(x) = 0, hay que tener en cuenta que, si x ≠ 0, se puede escribir
P(x) = x [1 – (x^2)/3! + (x^4)/5! – (x^6)/7! + …]/x =
[x – (x^3)/3! + (x^5)/5! – (x^7)/7! + …]/x
Ahora bien, el numerador que aparece aquí entre corchetes es el conocido desarrollo en serie de Taylor/Mac Laurin de sen x. Quienes no recuerden de sus años mozos la justificación de esa equivalencia tendrán que creérsela ahora que tienen barriga y peinan canas, pues no es cosa de que me ponga a demostrarla. De modo y manera que resulta
P(x) = senx/x
Por lo tanto, siempre que x ≠ 0, resolver P(x) = 0 equivale a resolver senx/x = 0, es decir, senx = 0. Quienes no sean amnésicos y recuerden un poco de la trigonometría elemental que aprendieron en el cole durante su dorada adolescencia franquista saben que esta ecuación se verifica para x = 0, ±π, ±2π, … Dado que x = 0 la hemos eliminado como solución de P(x) = 0, ya que P(0) = 1, solo quedan los demás infinitos valores con signos ±.
El formidable Euler procedió, pues, a escribir la siguiente descomposición en factores:
P(x) = 1 – (x^2)/3! + (x^4)/5! – (x^6)/7! + (x^8)/9! - …
= (1 – x/π)(1 – x/-π)(1 – x/2π)(1 – x/-2π)… =
[(1 – x/π)(1 + x/π)][(1 – x/2π)(1 + x/2π)]… =
[1 – x^2/π^2][1 – x^2/4π^2][1 – x^2/9π^2]… (*)
Con lo cual resultan inesperada o eulerianamente igualados una suma algebraica infinita (primera línea) con un producto infinito.
Cabe la posibilidad de que, llegados a este momento clave, algún lector curioso (si es que a estas alturas queda algún lector, curioso o no, de estas líneas) se pregunte intrigado: pero, bueno, por todos mis asendereados huesos ¿qué demonios tiene que ver todo esto con la serie de partida?, ¿dónde está, si es que está en algún sitio, esa simpática e inofensiva suma que pretendíamos hacer, es decir la Σ 1/k^2 = 1+ 1/4 + 1/9 + 1/16 + …?
Pues bien: el paso siguiente nos lo aclara casi como por arte de magia. Don Leonhard Euler, que no se arredraba ante ninguna fruslería que tuviese algo que ver con los números, se puso a multiplicar tranquilamente los infinitos factores, no más, que aparecen en la cuarta línea de (*). Primero multiplicó los infinitos 1, y obtuvo sin dificultad otro 1, como habría hecho cualquier párvulo. A fin de obtener todos los términos con x^2, multiplicó todos los 1 de todos los factores menos el del primer factor, donde eligió el término en x^2, luego lo mismo menos el 1 del segundo factor, donde eligió igualmente el término en x^2, y así sucesivamente, con lo que le resultó:
1 – (1/π^2 + 1/4π^2 + 1/9π^2 + 1/16π^2 + …)x^2 + …
Y no siguió multiplicando más, pues no era necesario: los términos siguientes en x^4, x^6 y sucesivos no se molestó en calcularlos, pues no iban a desempeñar ningún papel en el presente negocio. ¿Vemos ya por dónde asoma el escurridizo conejito en la chistera? ¿No? Comparemos la primera línea de (*) con este último resultado. Es evidente que, para que se cumpla la igualdad que allí aparece, es necesario que sean iguales los términos con la misma potencia de x, y en particular los términos en x^2, o sea:
- 1/3! = - (1/π^2 + 1/4π^2 + 1/9π^2 + 1/16π^2 + …)
Con lo que, multiplicando ambos miembros de esta ecuación por –π^2, queda fulminantemente en evidencia que
Σ 1/k^2 = 1+ 1/4 + 1/9 + 1/16 +… = (π^2)/6. QED.
ADDENDA.
1. Cabe preguntarse cómo abordó Euler la siguiente de las p-series, es decir la correspondiente a p = 3:
Σ 1/k^3 = 1 + 1/2^3 + 1/3^3 + 1/4^3 + …=
= 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + …
La respuesta es: ni siquiera él se atrevió a hincarle el diente a esta “inocente” suma. Y nadie después, en doscientos y pico años, lo ha intentado tampoco, que se sepa.
2. Puede pensarse que este tipo de ejercicios matemáticos, por muy brillantes e impresionantes que sean, no sirven en definitiva para nada, o solo para sacudirse el aburrimiento. Craso error: estas aparentes “frivolidades” del cálculo (como ha ocurrido también con el llamado último teorema de Fermat) contribuyen siempre de manera decisiva al avance de la ciencia matemática como un todo.
3. Como ha escrito William Dunham, nadie en la historia de la matemática ha recorrido caminos tan intrincados como los que transitó el portentoso Leonhard Euler. Cierto que al autor suizo se le puede reprochar cierta “alegría” y falta de rigor lógico en su tratamiento de los desarrollos infinitos, que son muy díscolos y traicioneros. Sin embargo, aunque su aproximación a las series infinitas fue ingenua, todas sus maravillosas sumas han sido posteriormente verificadas con el mayor rigor. En palabras del historiador Morris Kline: «Euler fue el gran manipulador que señaló el camino para miles de resultados establecidos más tarde rigurosamente.»
4. «Leed a Euler, leed a Euler. Él es el maestro de todos nosotros.» Pierre-Simon Laplace.
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19/03/2007 02:29
Series numéricas, y III
