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Cuando de indecibilidad se habla, uno cae en el peligro de caer en arenas movedizas. Lo digo, porque cuando se dice : "Mostró también que, aunque G no sea formalmente demostrable, es sin embargo una fórmula verdadera."
puede parecer, que toda proposición indecidible, en el fondo se convierte en cierta, si se puede demostrar su indecidibilidad. Y aveces es así, en efecto. Por ejemplo, consideren la famosa conjetura de Golbach, que dice que todo número par, mayor o igual que 4, es la suma de dos números primos, a saber 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5 ..etc...
Para cada número par en concreto, podemos encontrar un algoritmo que en un número finito de pasos, nos determine de forma inequívoca si ese número cumple o no la conjetura. A saber, el algoritmo de probar con todos los primos menores que nuestro número par en concreto, sería finito y suficiente. Es obvio decir, que nuestro algoritmo "particular", si és demostrable a partir de los axiomas.
Bién, supongamos ahora que la proposición de Golbach fuera indecidible. Si ello fuera así, resulta que nuestro algoritmo particular aplicado a cualquier número par no podría fallar nunca, porque si fallara una sola vez, existiría un número par que no cumple la conjetura, en cuyo caso, con nuestro algoritmo particular basado en los axiomas habriamos demostrado un contraejemplo de la conjetura y la conjetura no se cumpliría. Pero, claro, eso contradice nuestra suposición inicial de que era indecidible. Dicho de otra forma, la conjetura de Golbach, puede ser cierta e indemostrable, pero no falsa e indemostrable. Luego su indecidibilidad en este caso, sería una prueba de su veracidad, aunque no existiera demostración formal al respecto. Otra cosa sería si es posible decidir o no la indecidibilidad de dicha conjetura.
Sin embargo, hay otros casos ya mencionados, como el axioma de elección o la hipótesis del continuo, en que la situación es bastante diferente. Tanto en un caso como en otro, lo que sucede es que se puede demostrar que ni su afirmación, ni su negación contradicen los axiomas. Dicho de otra forma, son dos enunciados que son por completo independientes de los axiomas. Su indecidibilidad por lo tanto és en la axiomática actual, completa, en el sentido de que afirmar su indecidibilidad, no contradice ningún posible algoritmo finito, que pudiera darnos algún contraejemplo ni nada parecido. Piensen que por ejemplo, cuando no preguntamos por si existe un cardinal intermedio entre aleph0 , que es el cardinal de N, y c,que es el cardinal del continuo osea de R y P(N), la duda está en el caso particular mismo, y no en ninguna generalización.
Además, y ahí radica en mi punto de vista el principal motivo de la indecidibilidad de estas proposiciones, es que la conjetura de Golbach, trata sobre números naturales, algo que tiene una realidad física bastante manifiesta, y para lo que podemos recurrir en gran medida a hechos físicos,para encontrar algoritmos particulares. Por el contrario, hoy por hoy, nadie sabe que realidad física puede tener un cardinal transfinito, y mucho menos, determinar algo así como si exite un cardinal transfinito intermedio entre dos dados.
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27/09/2006 16:46
Sutilezas de la indecidibilidad
