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Hay que decir primero completando el post de kolokao que ya egipcios y babilonios conocían el teorema de "Pitágoras" antes que los griegos, éstos lo usaban para construir edificios, pero los que ya lo conocían al menos mil años antes del nacimiento de Pitágoras eran los chinos que ampliaron su uso al álgebra y a la astronomía. Los chinos lo llaman teorema kou ku (kou=cateto pequeño, ku=cateto grande) y es el paradigma de la demostración "sin palabras" la mera observación de las figuran y la relación entre éstas es prueba suficiente, de ahí su belleza.
Contestando a Lemuel decir que sus observaciones no contradicen en absoluto lo que llama lógica formal pues las igualdades que él considera no son igualdades entre conjuntos sino entre cardinales y la igualdad entre cardinales está definida de una manera muy particular. Me explico, cuando dices que NP=N estás igualando conjuntos y es una falacia, dado que por ejemplo el 3 no está incluido en el conjunto de los NaturalesPares. Lo que estás queriendo decir, imagino, es que tienen el mismo cardinal, alef0, cosa muy diferente a decir que ambos conjuntos son iguales. Para que tus igualdades fueran correctas simplemente deberías colocar el símbolo # delante de los conjuntos pues significa "cardinal de". Así, corrijamos las igualdades, #NP = #N, #NI = #N, #NP + #NI = #N, que #NP = #N, que #NI = #N, que #NP + #NI + #N = #NP y que todas a su vez son iguales a alef0. Y ahora la última puntualización que en modo alguno se incumple la propiedad transitiva en la igualdad entre cardinales de conjuntos. Esta igualdad se define de la siguente manera: Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si entre ellos se puede establecer una biyección, es decir, una relación uno a uno. si puedo establecer esta biyección entre A y B, llamémosla f, y puedo definir otra entre B y C, llamémosla g, de tal modo que #A=#B y #B=#C entonces, tomando la composición de f con g obtengo la relación buscada entre A y C y por tanto #A=#C. De dónde proviene tu confusión? Pues del hecho de que has confundido la transitividad de la igualdad con unos resultados algo chocantes a primera vista de aritmética cardinal.
Gracias Lemuel y kolokao por abrir este debate en verdad apasionante. Espero no haber estado muy pesada pero la resaca no me da para más (cosas del verano en Mallorca)
PS: [ajotatxe] no des muchas collejas por favor ;)
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30/08/2006 16:25
Teorema Kou Ku
