 |
Demostrada por Cantor la no enumerabilidad de R, se planteó una situación sorprendente. Veamos en qué consistió la cosa.
Los números reales están integrados por los racionales y los irracionales. Dado que los racionales eran enumerables, la no enumerabilidad de R tenía que deberse a los irracionales. Ahora bien, los irracionales eran, en su mayor parte (eso se creía entonces), números algebraicos más un puñadico de los que Euler llamó “trascendentes”, tales como e y pi, pues, según él, “trascendían el poder de los métodos algebraicos”. (La demostración de la existencia de irracionales trascendentes se debió a Liouville, y, en concreto, la prueba de la trascendencia de esos dos famosos números fue posible gracias al meritorio empeño de Hermite y Lindemann, respectivamente. El primero de estos matemáticos, tras lograr su hazaña con e en 1873, escribió prudentemente: “No me atrevo a probar la trascendencia de pi. Si otros lo logran nadie estará más feliz que yo con su éxito, pero créame, querido amigo, que no dejará de costarles un cierto esfuerzo.” Pasarían otros nueve años hasta que Lindemann lograse dar cima a esa ímproba tarea.)
El caso es que el bueno de Cantor, no contento con probar la no enumerabilidad de R, probó así mismo, y de un modo increíblemente sencillo, la enumerabilidad de los irracionales algebraicos. De lo que se deducía, pues, que la no enumerabilidad de R se debía a ese insignificante “puñadico” de irracionales trascendentes. Por tanto, existían más irracionales trascendentes que algebraicos. De hecho, la no enumerabilidad de R se debía precisamente al “puñadico” de los trascendentes.
Siempre había resultado difícil hallar números trascendentes, ¡y ahora resultaba que existían en tal abundancia como para sobrepasar por sí solos en número al célebre álef sub cero, o infinito enumerable!
|
| |
|
30/08/2006 17:09
Trascendencia
